Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2026

En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes $k$ viene dada por $a_k$, $b_k$ y $c_k$, respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes $k+1$ y en el mes anterior, $k$: $$\begin{pmatrix}a_{k+1}\\b_{k+1}\\c_{k+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}\quad\text{con }M=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}.$$

Sea $f(x)$ una función continua definida en $[0,+\infty)$ tal que $f\prime(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$, $\forall x>0$, y $f(1)=2e-2$.

Sean los planos $\pi\equiv x-2y+4z+1=0$ y $\pi_d\equiv2x-3y+6z=d$, con $d\in\mathbb{R}$.

Elige entre 4.1 y 4.2, respondiendo únicamente uno de los dos.
4.1 Para una prueba de Bachillerato se ha preparado un cuestionario tipo test de 4 preguntas con 5 respuestas posibles a cada pregunta. Cada pregunta correctamente respondida suma 2,5 puntos. Por cada respuesta incorrecta se restan 0,625 puntos. Si no se contesta a la pregunta, se puntúa con 0.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?
b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?
4.2 En un hospital se realizan dos técnicas diferentes de intervención para una misma lesión. Se muestra en la siguiente tabla el número de intervenciones realizadas en los últimos años clasificadas por tipo de técnica y gravedad de la lesión antes de la intervención:

En la tabla siguiente se muestra el número de intervenciones que fueron efectivas ante la lesión:

a) (0,5 puntos) Se elige al azar el expediente de una intervención realizada en el hospital para esta lesión. Sabiendo que la intervención ha sido efectiva, ¿cuál de las dos técnicas es más probable que se haya usado?
b) (1 punto) Con los datos anteriores, un cirujano del hospital quiere elegir la técnica que le proporcione mayor probabilidad de éxito. ¿Qué técnica elegirá para una lesión leve?, ¿y para una lesión grave?
c) (0,5 puntos) El protocolo del hospital cuando se desconoce la gravedad de la lesión es aplicar la técnica 1. Justifica por qué este protocolo no es el más adecuado.

Elige entre 5.1 y 5.2, respondiendo únicamente uno de los dos.
5.1 (2 puntos) En un archivo de la universidad se están digitalizando los expedientes allí almacenados. La universidad dispone de 70 archiveros que pueden realizar el trabajo y de un número limitado de equipos informáticos. Inicialmente se crea un equipo de trabajo con 50 archiveros. Se ha observado que cada uno de los integrantes de ese equipo digitaliza 80 expedientes mensualmente y que por cada archivero más que se añada al equipo, se reduce en uno los expedientes que digitaliza cada archivero al mes. Determina el número de archiveros que deben formar el equipo para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo.
5.2 (2 puntos) Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{\operatorname{sen}(x)}-e^x}{1-\cos(x)}$.

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Anexo del examen: fórmulas y tabla de la normal. No forma parte de 5.2: en el PDF va al final del examen y vale para cualquier pregunta.

Nota: Puedes utilizar las siguientes fórmulas si te resultan de utilidad en alguno de los ejercicios anteriores.

• En el paralelogramo $ABCD$ podemos calcular su área con la expresión $\text{Área}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|$.
• Dado un triángulo $ABC$, su área puede obtenerse con la expresión $\text{Área}=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}{2}$.
• Sea el paralelepípedo definido por los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$, entonces su volumen puede ser obtenido por la expresión $\text{Volumen}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|$.
• El volumen de un tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ puede ser obtenido por la expresión $\text{Volumen}=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|}{6}$.

NOTA: En la tabla figuran los valores de $P(Z\leq k)$ para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si el valor buscado se encuentra entre dos valores de la tabla, elija el más próximo de los dos. En el caso de que las distancias por exceso y por defecto sean iguales, considere la media aritmética de los valores correspondientes.