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Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2023

Aragón10 preguntas (elegir 5)100% Resuelto

Pregunta 1

2 puntos(1 + 1)

Análisis: continuidad y extremos

Continuidad a trozos y extremo relativo

Sea la función

f(x)=\begin{cases}a\,x-\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}+2, & x\neq 0 \\ 2, & x=0\end{cases}

a\in\mathbb{R}

.
a) (1 pto) Estudia su continuidad en

\mathbb{R}

según los valores de

a

.
b) (1 pto) Calcula el valor de

a

para que

f

tenga un extremo relativo en

x=-\dfrac{\pi}{2}

y di qué tipo de extremo es.

Pregunta 2

2 puntos

Análisis: límites

Límite

1^{\infty}

con logaritmo

Calcula el siguiente límite:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}\right]^{\ln x}

Pregunta 3

2 puntos

Análisis: área entre curva y recta

Área parábola-recta

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

f(x)=-x^2+4x

y la recta de pendiente

\tfrac{1}{2}

que corta a

f(x)

x=\tfrac{7}{2}

Pregunta 4

2 puntos(0,75 + 1,25)

Análisis: dominio y asíntotas

Dominio, asíntotas y ramas

Dada la función

f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}

:
a) (0,75 pto) Estudia y escribe su dominio de definición.
b) (1,25 pto) Estudia la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.

Pregunta 5

2 puntos(1 + 1)

Álgebra: inversa y ecuación matricial

Inversa y ecuación matricial

Sean

A=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

C=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}

D=A\cdot B^T-2I

(con

I

de orden 3).
a) (1 pto) Estudia si la matriz

D

tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.
b) (1 pto) Resuelve la ecuación matricial

CX=A^T\cdot B

, donde

A^T

es la traspuesta de

A

Pregunta 6

2 puntos(1,2 + 0,8)

Álgebra: sistemas con parámetro

Discusión y resolución de un sistema

Dado el sistema

\begin{cases}-x + m y = 0 \\ m y + 2 z = 2 + m^2 \\ x + y = 2m\end{cases}

.
a) (1,2 pto) Discute según los valores de

m\in\mathbb{R}

qué tipo de sistema es.
b) (0,8 pto) Resuelve el sistema para

m=2

Pregunta 7

2 puntos(1 + 1)

Álgebra: potencias de matrices

Potencia de matriz singular y ecuación matricial

Sean

A=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 1 \\ -1 & -2\end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix}-3 & 5 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

.
a) (1 pto) Calcula la matriz

A^n

para

n\in\mathbb{N}

.
b) (1 pto) Resuelve la ecuación

(A+2I)X=B

, donde

I

es la identidad de orden 2.

Pregunta 8

2 puntos

Geometría: plano y triángulo

Plano cortando ejes: área del triángulo

El plano

\pi\equiv 2x+by-2z+4=0

b\in\mathbb{R}

b\neq 0

, corta a los ejes en tres puntos

A

B

C

. Calcula los valores de

b\in\mathbb{R}

tales que el área del triángulo

ABC

sea

6\ \text{u}^2

Pregunta 9

2 puntos(1 + 1)

Álgebra: vectores y productos

Dependencia lineal y productos escalares

Si los vectores

\{\vec u,\vec v,\vec w\}

son linealmente independientes:
a) (1 pto) Comprueba si los vectores

\{\vec r,\vec s,\vec t\}

son linealmente dependientes o independientes, siendo

\vec r=2\vec u+\vec w

\vec s=\vec u+\vec v-\vec w

\vec t=-3\vec u-\vec v+\vec w

.
b) (1 pto) Si además

\{\vec u,\vec v,\vec w\}

son ortogonales y unitarios, calcula razonadamente

\vec u\cdot\vec r+\vec v\cdot\vec s+\vec w\cdot\vec t

Pregunta 10

2 puntos(1 + 1)

Probabilidad: distribución normal

Distribución normal: sulfitos en vino

El contenido total en sulfitos del vino de una bodega sigue

N(150,30)

(mg/l). Se desechan los que superen 200 mg/l.
a) (1 pto) ¿Cuál es la probabilidad de que un vino se deseche?
b) (1 pto) ¿Qué porcentaje de vinos tienen un contenido entre 110 y 150 mg/l?

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