Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

Considera la matriu $M$ i el vector $\mathbf{b}$, $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\ a+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ i $$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$, respectivament.
(a) [3 punts] Indica per a quins valors de $a$ la matriu $M$ és invertible.
(b) [3 punts] Calcula, per a tots els valors de $a$ que sigui possible, la inversa de $M$.
(c) [4 punts] Calcula, per al cas $a = 0$, el vector $\mathbf{x}$ tal que $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$.

Considera les matrius $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ i $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, i sigui $O$ la matriu nul·la d'ordre $2 \times 2$.
(a) [4 punts] Calcula totes les matrius $X$ tals que $AX - X = B$.
(b) [3 punts] Troba una matriu $Y$ diferent de $O$ tal que $(A - B)Y = O$.
(c) [3 punts] Indica totes les matrius $Z$ que compleixen la igualtat $AZ = O$.

Considera el pla $\pi: 2x + 3y + z - 6 = 0$.
(a) [3 punts] Determina els vèrtexs del triangle que ve determinat per la intersecció del pla amb els eixos de coordenades.
(b) [3 punts] Calcula l'àrea del triangle anterior.
(c) [4 punts] Sigui $A$ el vèrtex del triangle sobre l'eix d'abscisses (eix $OX$). Calcula la recta perpendicular al pla que passa per $A$.

Siguin $a$ i $b$ dues constants reals no nul·les. Considerem el pla $\pi: x + ay - 2z = 3$ i la recta $$r: \begin{cases} x + bz = 1 \\ y = 0 \end{cases}$$.
(a) [4 punts] Per a quins valors de $a$ i $b$ la recta $r$ és perpendicular al pla $\pi$? Per a aquests casos concrets, calcula el punt de tall entre $r$ i $\pi$, i calcula o justifica quina és la distància de la recta al pla.
(b) [3 punts] Per a quins valors de $a$ i $b$ la recta $r$ és paral·lela al pla $\pi$?
(c) [3 punts] Existeixen alguns valors de $a$ i $b$ per als quals la recta $r$ està continguda en el pla $\pi$?

La quantitat de tones d'aigua infectada per un bacteri s'espera que segueixi la funció $f(x) = e^{-x} + 0.15x + 1$ sent $x \geq 0$ els dies d'infecció i $f(x)$ les tones d'aigua infectada.
(a) [4 punts] Quantes tones d'aigua hi havia inicialment infectades pel bacteri? Cap a quin valor tendeix la quantitat d'aigua infectada? Interpreta els resultats.
(b) [4 punts] En quin moment hi haurà menys quantitat d'aigua infectada? Quantes tones hi ha en aquell moment?
(c) [2 punts] Hi ha algun moment en què l'aigua no estigui infectada? Justifica la resposta.

[10 punts] Representa la regió compresa entre la corba $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$, l'eix d'abscisses (eix $OX$) i les rectes $x = 0$ i $x = 7$. Calcula'n l'àrea.

Un espai mostral conté dos successos $A$ i $B$. Sabent que $P(A \cap B) = 0.3$, $P(A/B) = P(B/A)$ i $P(A^c) = 0.4$ (sent $A^c$ el succés complementari), calcula:
(a) [2 punts] $P(B/A)$.
(b) [3 punts] $P(B)$.
(c) [3 punts] $P(A^c \cap B^c)$.
(d) [2 punts] Són $A$ i $B$ successos independents?

El pes dels nadons segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 3.1$ kg i desviació típica $\sigma$ desconeguda. Se sap que només el 30.5% dels nadons pesa més de 3.8 kg. Calcula, arrodonint els resultats a 4 decimals,
(a) [4 punts] Quina és la desviació típica?
(b) [3 punts] Suposant que $\sigma = 1.3725$, quina és la probabilitat que un nadó pesi menys de 2.7 kg?
(c) [3 punts] Suposant que $\sigma = 1.3725$, quina és la probabilitat que un nadó pesi entre 2.7 i 3.5 kg?