Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

Considere la función $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x-1}$.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Una empresa produce dos tipos de piezas, de hierro y de acero. El 60 % de la producción total corresponde a las piezas de hierro, y el resto son de acero. Sabemos que el 95 % de las piezas de hierro producidas no tienen ningún defecto, mientras que el 3 % de las piezas de acero son defectuosas.

a) Si se coge una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? [0,75 puntos]

b) La empresa pronto diversificará la producción y empezará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$, y cada pieza es defectuosa independientemente de las demás, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$) es $f(p)=5(p^{4}-p^{5})$. [0,75 puntos]

c) Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p\geq 0$. [1 punto]

OPCIÓN A. La vela mayor de un velero tiene forma semiparabólica y está delimitada por las gráficas de $f(x)=-x^{2}+25$, $y=0$ y $x=0$, según se indica en la siguiente figura:

[Se adjunta figura en el PDF original: parábola $y=-x^{2}+25$ en el primer cuadrante, recta horizontal $y=9$ que corta la parábola en $x=4$ y delimita la región inferior (rayado denso) entre $x=0$, $x=5$, $y=0$ y $y=9$; la región superior (rayado paralelo) está entre la recta $y=9$ y la curva $y=-x^{2}+25$.]

La vela tiene dos partes separadas por la recta $y=9$. Para su construcción se usa un tejido de nailon en la parte superior, que cuesta $50\,€/u^{2}$, y un tejido de poliéster en la parte inferior, que cuesta $70\,€/u^{2}$. Calcule el coste total del material necesario para la construcción de esta vela. [2,5 puntos]

OPCIÓN B. Considere el plano $\pi$ de ecuación $x+y=0$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi'$ que es perpendicular a $\pi$ y contiene los puntos $P=(1,-1,2)$ y $Q=(3,-3,6)$. [1 punto]

b) Calcule la ecuación paramétrica de la recta contenida en $\pi'$ y que contiene los puntos de $\pi'$ a la misma distancia de $P$ que de $Q$. [1,5 puntos]