Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD (2,5 puntos)
La produccion de vino por hectarea (ha) de terreno en una comarca sigue una distribucion N(mu, sigma). Los datos historicos indican que solo en el 2% de los anos la produccion supera los 9000 kg/ha, mientras que en el 56% de los anos queda por debajo de los 8315 kg/ha.
a) (1,75 puntos) Calcula la media y la desviacion tipica de la distribucion.
b) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que la produccion supere los 8500 kg/ha en un ano elegido al azar.
(Vease la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

2.1 (2,5 puntos) La vela de un barco tiene forma de triangulo rectangulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea maxima.

2.2 (2,5 puntos) Sea la función f(x) = -x^2 + alpha x + 11, donde alpha es un parametro real. Calcula el valor de alpha para que f(x) tenga un maximo relativo en x = 1/2. Para ese valor de alpha calcula el area encerrada entre las graficas f(x) y f'(x).

Responda a los dos subapartados siguientes.
a) (1,25 puntos) Dado el sistema de ecuaciones homogeneo:
3x + y - z = 0
3x + 2y - mz = 0
x - y - z = 0
Indica para que valores de m el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelve el sistema anterior para un valor de m que lo haga compatible indeterminado.
b) (1,25 puntos) Dada la matriz A = [[3,0,0],[3,3,3],[3,0,0]], resuelve el sistema (A - (1/3) A^T)(x,y,z)^T = (0,7,1)^T donde A^T es la matriz traspuesta de A.

Responda a los dos subapartados siguientes.
a) (1,25 puntos) Dada la matriz A = [[1,0,1],[1,1,-1],[1,0,3]], estudia el rango de la matriz A - lambda I, según los valores de lambda en R, donde I es la matriz identidad de orden 3.
b) (1,25 puntos) Dada la matriz A = [[1,-1,2,0],[2,1,3,1],[0,1,-1,2],[0,0,4,-1]], calcula su determinante. Que solución tiene el sistema AX = b siendo b = (0,0,0,0)^T?

Responda a los dos subapartados siguientes.
a) (1,25 puntos) Obten el valor de m para el cual las rectas r: x = y = z - m y s: (x-1)/2 = 2y/3 = 2z - 2 se cortan. Calcula el punto de corte de r y s para el valor de m calculado.
b) (1,25 puntos) Se consideran los puntos P = (0, 2, -1) y Q = (2, -2, 1). Encuentra la ecuacion del plano pi que cumple que los dos puntos son simetricos respecto a el.

Responda a los dos subapartados siguientes.
a) (1,25 puntos) Dada la recta r, r: x - 2 = y + 1 = -z, calcula la ecuacion de la recta s que corta a r perpendicularmente y que pasa por Q = (2, -2, 1).
b) (1,25 puntos) Dados los planos mx + 2y - 3z - 1 = 0 y 2x - 4y + 6z + 5 = 0 halla los valores de m para que sean: i) paralelos. ii) perpendiculares.