Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

CUESTIÓN 1 (a elegir entre 1A y 1B):

1A) Daniel quiere contratar a los músicos Darío, Hugo y José. El sueldo de Darío es el de Hugo multiplicado por un parámetro $m > 0$. El sueldo de Hugo es el doble del de José. La suma del sueldo de José multiplicado por $m$ más el sueldo de Darío (sin multiplicar por $m$) más el sueldo de Hugo (sin multiplicar por $m$) es $600\,€$.

a) [0,75] Denotando por $x$ el sueldo de Darío, por $y$ el sueldo de Hugo y por $z$ el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.

b) [0,25] Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de $m$).

c) [1,5] Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de $m$), y lo que cobra cada uno para $m=2$.

1B) Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$.

a) [1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.

b) [1,25] Resuelva la ecuación $A^{t} X B = C$, donde $A^{t}$ es la traspuesta de $A$.

CUESTIÓN 2 (a elegir entre 2A y 2B):

2A) Considere un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ cuya hipotenusa mide $7\sqrt{2}\,\text{cm}$.

a) [0,5] Demuestre que su área viene dada por la expresión $$f(x) = \dfrac{1}{2}x\sqrt{98 - x^{2}}.$$

b) [2] Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

2B) Considere la función $f(x) = \ln\!\left(\dfrac{x+1}{x}\right)$.

a) [1,5] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int f(x)\,dx$.

b) [1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ entre los valores $x = 1$ y $x = 2$ es $\ln\!\left(\dfrac{27}{16}\right)$.

CUESTIÓN 3 (a elegir entre 3A y 3B):

3A) Considere las rectas $$r: \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 5 + \lambda \\ z = \lambda \end{array}\right. \qquad\text{y}\qquad s: \left\{\begin{array}{l} x = 7 + 3\mu \\ y = -5 + \mu \\ z = 7 \end{array}\right.$$

a) [0,5] Compruebe que se cruzan.

b) [1,5] Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.

c) [0,5] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.

3B) Considere los planos $\pi_{1}: x - y + z = 0$ y $\pi_{2}: x + y - z = 2$.

a) [1] Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$.

b) [0,75] Halle la ecuación de la recta que pasa por $P(1,2,3)$ y no corta ni a $\pi_{1}$ ni a $\pi_{2}$.

c) [0,75] Calcule la proyección ortogonal de $P$ en $\pi_{1}$.

CUESTIÓN 4 (a elegir entre 4A y 4B):

4A) Considere dos urnas $U_{1}$ y $U_{2}$, tales que en $U_{1}$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_{2}$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_{1}$, depositarla en $U_{2}$ y, a continuación, sacar una bola de $U_{2}$. Calcule la probabilidad de que:

a) [0,5] Salga una bola roja en $U_{2}$ sabiendo que ha salido roja en $U_{1}$.

b) [0,5] Salga una bola verde en $U_{2}$ sabiendo que ha salido roja en $U_{1}$.

c) [0,75] Salga una bola verde en $U_{2}$.

d) [0,75] Haya salido roja en $U_{1}$ sabiendo que ha salido roja en $U_{2}$.

4B) El $2\%$ de las piezas fabricadas por una máquina son defectuosas.

a) [1] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de $10$ piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente $1$ pieza defectuosa.

b) [1,5] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de $2000$ piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de $50$ piezas defectuosas.