Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$:
$$\begin{cases} x + ky + z = 2 + k \\ 2x - y - kz = 1 - k \\ x - y - z = 1 \end{cases}$$
a) Discutir el sistema en función del parámetro $k$.
b) Resolver para el caso $k = 1$.

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ con $m \in \mathbb{R}$.
a) Calcular el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2 = A \cdot B$.
b) Calcular $m$ para que la matriz $A + B$ tenga inversa siendo $I$ la matriz unidad de orden 2.
c) Para $m = 2$ obtener la inversa de la matriz $A + B - I$.

Dada la función $f(x) = (x-1)e^x$:
a) Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.
b) Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$.
c) Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x = 1$.

Dadas las funciones $f(x) = -2$ y $g(x) = x^4 + x^2 - 2x$.
a) Calcular $\displaystyle\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx$.
b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$.

a) Comprobar que el plano $\pi: x + y - z = 3$ y la recta $r: \dfrac{x}{3} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{3}$ no se cortan.
b) Calcular la distancia entre el plano $\pi$ y la recta $r$ del apartado anterior.
c) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $(0\text{,}1\text{,}-1)$.

Dados los puntos $A(1\text{,}0\text{,}2)$, $B(1\text{,}m\text{,}6)$, $C(2\text{,}1\text{,}4)$ y $D(4\text{,}3\text{,}2)$. Se pide:
a) Calcular $m$ para que los 4 puntos sean coplanarios.
b) Obtener la ecuación general del plano $ACD$.
c) Para $m = 2$, calcular un vector perpendicular al plano $ABC$ de módulo 4 y calcular el área del triángulo $ABC$.

Se sabe que la altura de los estudiantes de segundo de bachillerato de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 174 cm y desviación típica 12 cm.
a) Calcular el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm.
b) ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67% de los estudiantes miden más que él?
c) Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población, ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm?