Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix}b & 1\\ 0 & b\end{pmatrix}$$, se pide: a) el determinante de $A^{t}A$; b) el rango de $BA$ en función de $b$; c) $B^{-1}$ para $b=2$; d) para $b=1$, calcular $B^{5}$.

Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo vehículo híbrido. El gasto en litros de combustible por cada 100 km en función de la velocidad (en decenas de km/h) es $$c(v)=\begin{cases}\dfrac{5v}{3} & \text{si } 0\le v<3\\ \dfrac{14-4v+v^{2}}{3} & \text{si } v\ge 3.\end{cases}$$

Sean el plano $\pi:z=1$, los puntos $P(1,1,1)$ y $Q(0,0,1)$ y la recta $r$ que pasa por $P$ y $Q$. Se pide: a) verificar $P,Q\in\pi$; b) hallar una recta paralela a $r$ contenida en $z=0$; c) hallar una recta que pase por $P$ cuya proyección ortogonal sobre $\pi$ sea $r$ y que forme con $r$ un ángulo de $\pi/4$ radianes.

Sabiendo que $P(A)=0\text{,}5$, $P(A|B)=0\text{,}625$ y $P(A\cup B)=0\text{,}65$, calcular: a) $P(B)$ y $P(A\cap B)$; b) $P(A|A\cup B)$ y $P(A\cap B|A\cup B)$.

Dado el sistema $$\begin{cases}-2x+y+kz=1\\ kx-y-z=0\\ -y+(k-1)z=3\end{cases}$$, se pide: a) discutirlo según $k$; b) resolver para $k=3$; c) resolver para $k=3/2$ y dar una solución con $x=2$.

Dadas $f(x)=2+2x-2x^{2}$ y $g(x)=2-6x+4x^{2}+2x^{3}$, se pide: a) estudiar la derivabilidad de $h(x)=|f(x)|$; b) hallar el área de la región acotada por $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=0$ y $x=2$.

Dados el plano $\pi:x+3y+2z+14=0$ y la recta $$r\equiv\begin{cases}x=2\\ z=5\end{cases}$$, se pide: a) punto de $\pi$ más próximo al origen; b) proyección ortogonal del eje $OZ$ sobre $\pi$; c) recta perpendicular a $r$, contenida en $\pi$ y que corta al eje $OZ$.

El 65% de los universitarios de 18 años que intentan superar el examen práctico de conducir lo consigue a la primera. Se escogen al azar 10 universitarios de 18 años que ya han superado el examen práctico de conducir. Se pide: a) $P$(exactamente 3 necesitaron más de un intento); b) $P$(alguno necesitó más de un intento); c) aproximando por una normal, $P$(de 60 universitarios, al menos la mitad supera a la primera).