Discutir el sistema $S(a)$ en función de $a$: $$S(a):\begin{cases} ax-y+2z=2 \\ x-2y-z=1 \\ x+2y+az=3 \end{cases}$$ Resolver, en función de $a$, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.

Sea $$M(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$. a) Determinar para qué valores de $\alpha$ la matriz no tiene inversa. b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para $\alpha=0$, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.

a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $(-1,2,3)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u}=(-1,-2,-3)$ y $\vec{v}=(1,3,5)$. b) Hallar el valor de $A$ para que el plano calculado en el apartado anterior y $Ax-y+5z=8$ sean perpendiculares.

Sea $\pi$ el plano $2y-y+Az=0$ (entendido como $2x-y+Az=0$ — forma estándar) y $r$ la recta $$\begin{cases} 4x-3y+4z=-1 \\ 3x-2y+z=-3 \end{cases}$$. Hallar $A$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Además, obtener el plano perpendicular a $r$ y que pase por el origen.

Dada la función $f(x)=ax^3+bx^2+c$, determinar los valores de $a, b, c$ sabiendo que su gráfica pasa por $(0,2)$ y tiene un extremo en $(1,-1)$. ¿Tiene $f$ más extremos?

Sea $f(x)=x^2+9$ y $P$ el punto exterior a su gráfica de coordenadas $P=(0,0)$. Calcular razonadamente la(s) recta(s) tangente(s) a la gráfica de $f$ que pasan por el punto $P$.

Dibujar la región encerrada por $f(x)=-x^2+5$ y $g(x)=-x^2+5$ (el enunciado oficial es $f(x)=-x^2+5$ y $g(x)=x^2-2x+1$). Calcular el área del recinto.

Calcular las integrales indefinidas $I$ y $J$, explicando los métodos usados: $I=\int x\cos(2x)\,dx$, $J=\int \dfrac{dx}{x^2+2x-3}$.

En una empresa el 70% de las trabajadoras están satisfechas con su contrato, y entre las satisfechas con el contrato el 80% gana más de 1.000 euros al mes. Entre las no satisfechas, el 20% gana más de 1.000 euros. Se elige una trabajadora al azar. a) ¿Probabilidad de que gane más de 1.000 euros? b) Si gana más de 1.000 euros, ¿qué probabilidad de que esté satisfecha con su contrato? c) ¿Probabilidad de que gane menos de 1.000 euros y esté satisfecha?

En un garaje hay 30 aparcamientos. En cada uno puede haber o no un automóvil, independientemente de los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es $0{,}4$: a) Identificar el modelo de probabilidad. b) Hallar la probabilidad de que un día haya 8 automóviles aparcados. c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.