Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:

a) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a = 0$.

b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,5 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Considere las matrices

a) [1 p.] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.

b) [1,5 p.] Resuelva la ecuación matricial $A X B = A^{t} - 3B$, donde $A^{t}$ denota la matriz traspuesta de $A$.

[2,5 p.] De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 4 metros, determine las dimensiones de aquel cuya área es máxima. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

a) [2 p.] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\,dx$.

b) [0,5 p.] Determine el área del recinto limitado por el eje $OX$, la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ y la recta vertical $x=1$.

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

a) [1,5 p.] Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo de vértices $A=(-1,2,3)$, $B=(3,-4,1)$ y $C=(1,-4,5)$.

b) [1 p.] Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.

Considere la recta $r$ y el plano $\pi$ dados por las siguientes ecuaciones:

a) [1 p.] Estudie la posición relativa de la recta y el plano.

b) [0,5 p.] En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso contrario, calcule la distancia entre la recta y el plano.

c) [1 p.] Determine el plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

Una urna tiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas. Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que se obtienen al repetir nueve veces el siguiente experimento: se saca una bola de la urna y, después de anotar el color, se devuelve la bola a la urna.

a) [1 p.] ¿Qué tipo de distribución sigue dicha variable aleatoria y cuáles son sus parámetros?

b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas anotado sea menor o igual que 4?

En una determinada población, el 40% de los individuos lee diariamente la prensa y el 75% ve diariamente las noticias en la televisión. Además, el 25% de los individuos lee la prensa y ve las noticias en la televisión diariamente.

a) [0,5 p.] ¿Son independientes los sucesos "leer diariamente la prensa" y "ver diariamente las noticias en la televisión"?

b) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo lea la prensa diariamente pero no vea las noticias en la televisión?

c) [1 p.] Si un individuo lee la prensa diariamente, ¿cuál es la probabilidad de que también vea las noticias en la televisión?