Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papeleria en la compra de un libro, una calculadora y un cuaderno. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.
a) ¿Es posible determinar de forma unica el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? (1.25 puntos)
b) Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido respectivamente, un 50%, un 80% y un 75% de los precios iniciales de cada articulo, el estudiante habria pagado un total de 34 euros. Calcula el precio inicial de cada articulo. (1.25 puntos)

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 2 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 2 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$.
a) Discute el rango de $A$ según los valores de $m$. (1 punto)
b) ¿Que dimensiones ha de tener la matriz $X$ para que sea posible la ecuacion $A\cdot X = B$? (0.5 puntos)
c) Calcula la matriz $X$ del apartado anterior para $m = 0$. (1 punto)

Sea la función $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.
a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas $x$, si existen, los maximos y minimos relativos y los puntos de inflexion. (1 punto)
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una grafica de la función. (1 punto)
c) Calcula la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa $x = 2$. (0.5 puntos)

Sea la función $f(x) = 4 - x^2$.
a) Se pide determinar con el eje de abscisas los recintos limitados por $D$. Calcula su area. (1 punto)
b) La grafica de la función $g(x) = 2x^2$ divide $D$ en tres partes $D_1$, $D_2$ y $D_3$. Haz un dibujo de los tres recintos. (0.75 puntos)
c) Calcula el area del recinto $D_2$ que contiene al punto $P(0, 1)$. (0.75 puntos)

Dados el punto $A(2, 1, 1)$ y la recta $$r: \begin{cases} x + y = 2 \\ x + z = 2 \end{cases}$$.
a) Calcula un vector director de la recta $r$. (0.75 puntos)
b) La ecuacion del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y a la recta $r$. (0.75 puntos)
c) La ecuacion de la recta $s$ contenida en $\pi$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. (1 punto)

Sea el primer triangulo (triangulos iguales y paralelos) de la figura formado por $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$ y $D(\alpha, \beta, \gamma)$. $E(\alpha, \beta, \gamma)$, $C(0, 0, 1)$ y $F(\alpha, \beta, \gamma)$. Si $\alpha$ pertenecen a las puntas $A$, $B$, $C$ y los tres puntos del segundo $D$, $E$, $F$ Calcula:
a) Las coordenadas de los puntos restantes: $A', B', C'$. (0.75 puntos)
b) La distancia entre los planos $\pi$ y $\pi'$. (0.75 puntos)
c) El volumen del prisma triangular. (1 punto)

En una urna se introducen dos sucesos $A$ y $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A\cap B) = 0{,}3$, $P(A|B) = P(B|A) = 0{,}2$ y $P(\bar A) = 0{,}2$ ($\bar A$ suceso contrario). Calcula:
a) $P(A\cup B)$. (1 punto)
b) $P(B)$. (1 punto)
c) ¿Son los sucesos independientes? (0.5 puntos)

Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de futbol de veteranos lanzan penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces que tiran, los 3 medios uno de cada 4 que tiran y los 2 delanteros 3 de cada 4 que tiran. Calcula:
a) Se elige un jugador al azar y tira un penalti. ¿Cual es la probabilidad de que marque gol? (1.25 puntos)
b) Si supuesta la probabilidad del apartado anterior es de 60/100, ¿Si equipo realiza una mismo prueba 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y tira el penalti. ¿Cual es la probabilidad de que al menos 400 goles aproximadamente la distribucion por una normal? (1.25 puntos)
(Algunos valores de la función de distribucion de la distribucion normal de media 0 y desviacion tipica 1: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}5) = 0{,}6915$, $F(0{,}9956) = 0{,}8$, $F(1) = 0{,}8413$, $F(1{,}25) = 0{,}8944$, $F(1{,}375) = 0{,}9154$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(2) = 0{,}9772$.)