Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Considera la ecuación $AXA^t = B$ en donde $$A=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$, y $A^t$ denota la traspuesta de A. 1) [0,5 PUNTOS] Despeja la matriz X en la igualdad dada. 2) [0,5 PUNTOS] Comprueba que A es invertible y calcula su inversa. 3) [0,5 PUNTOS] Comprueba que $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$. 4) [1 PUNTO] Calcula X.

Considera la función $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$. 1) [0,5 PUNTOS] Calcula la derivada primera. 2) [0,5 PUNTOS] Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa $x=\pi$. 3) [0,5 PUNTOS] Calcula las asíntotas. 4) [1 PUNTO] Calcula $\lim_{x\to 0} f(x)$.

Se emite un rayo láser desde el punto P=(1,2,8) en la dirección del vector $\vec{v}=(1,2,-3)$. El plano $-x-y+3z=-8$ determina la posición de una lámina de grandes dimensiones. 1) [0,5 PUNTOS] Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser. 2) [1 PUNTO] Determina la posición relativa de rayo y lámina. 3) [1 PUNTO] Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcula la ecuación del plano de esta lámina.

Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 detecta concentraciones iguales o superiores a 10 U (positivo), mientras que concentraciones inferiores a 10 U dan negativo. Suponemos que la concentración de anticuerpos sigue una distribución normal con media 20 U y desviación típica 5 U y que todas las personas que han pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos. 1) [1,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo en el test. 2) [1,25 PUNTOS] Calcula qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1%.

En un juego de mesa se pueden comprar tanques, submarinos y aviones por 1, 3 y 5 diamantes respectivamente. El rival ha gastado 41 diamantes. Sabemos que tiene el doble de submarinos que de tanques, y que el número de submarinos más el de aviones es 10. 1) [1 PUNTO] Plantea un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones. 2) [0,5 PUNTOS] Clasifica el sistema. 3) [1 PUNTO] Resuelve el sistema.

Considera la función $f(x)=\dfrac{2}{x^2}$. 1) [1 PUNTO] Calcula el dominio y las asíntotas de f(x). 2) [0,5 PUNTOS] Halla una primitiva de f(x). 3) [1 PUNTO] Calcula el área de la región limitada por la función y=f(x), las rectas x=1, x=2, y el eje OX de abscisas.

Considera los puntos A=(1,2,1), B=(2,3,−4), C=(4,3,2). 1) [0,5 PUNTOS] Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. 2) [1 PUNTO] Halla la ecuación del plano que contiene los tres puntos. 3) [1 PUNTO] Calcula el área del triángulo que forman los tres puntos.

En un concurso de televisión el premio consiste en lanzar de forma independiente un dado cúbico y una moneda (suponemos que ambos son perfectos). Por cada punto obtenido con el dado sumamos 100 € (si sacamos un 1 ganamos 100 €, si sacamos un 2 ganamos 200 €, etc.) y si en la moneda sale 'Cara' sumamos 300 € adicionales. 1) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de ganar exactamente 400 €. 2) [0,5 PUNTOS] Calcula la probabilidad de ganar 400 € si sabemos que ha salido 'Cara' en la moneda. 3) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que haya salido 'Cara' sabiendo que hemos ganado 400 €.