Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2020

Tracem la recta tangent a la funció f(x) = 1/x² + 1 per un punt P = (a, f(a)) del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle.

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k:
5x + y + 4z = 19
kx + 2y + 8z = 28
5x + y - kz = 23 + k

a) Calculeu l'equació general del pla π que passa pel punt (8, 8, 8) i té com a vectors directors u = (1, 2, -3) i v = (-1, 0, 3). [1,25 punts]
b) Determineu el valor del paràmetre a perquè el punt (1, -5, a) pertanyi al pla π i calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla π. [1,25 punts]

Considereu la funció f(x) = (ax² + b) / x, en què a i b són dos paràmetres reals. Calculeu els valors de a i b de manera que la funció f(x) tingui una asímptota obliqua de pendent 1 i un mínim en el punt de la gràfica d'abscissa x = 2. [2,5 punts]

Sigui la matriu A = ((1, 1), (-3, -4)).
a) Trobeu la matriu X que satisfà l'equació AX = I - 3X, en què I és la matriu identitat d'ordre 2. [1,25 punts]
b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa. [1,25 punts]

Considereu la funció f(x) = x³.
a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y = f(x) és paral·lela a la recta 3x - y = 4. Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts]
b) Calculeu l'àrea de la regió delimitada per y = f(x) i la recta y = 3x + 2. [1,25 punts]