Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A1

Se considera el sistema de ecuaciones lineales que sigue:

Discute su compatibilidad en función de los valores del parámetro $\alpha$.

Resuelve el sistema para $\alpha = 0$, si es posible.

Ejercicio B1

Calcula las dos matrices $A$ y $B$ que satisfacen las siguientes igualdades:

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A2

Sean la recta $r$ y el plano $\pi$, que se cortan perpendicularmente en el punto $P(1,-1,2)$. Si el plano $\pi$ pasa por el punto $Q(1,2,3)$ y contiene al vector $(0,0,2)$, calcula las ecuaciones de la recta $r$ y del plano $\pi$.

Ejercicio B2

Se consideran tres planos de ecuaciones:

¿Existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales los tres planos se cortan en una recta? En caso de que la respuesta sea negativa, razónala. En el caso de que la respuesta sea positiva, calcula dichos valores.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A3

Sea $f(x) = \dfrac{x}{x^{2}+1}$. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$, calcula sus asíntotas, y encuentra la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. Haz una representación aproximada de la gráfica de la función $f$.

Ejercicio B3

Sea $f(x) = x^{3} + Ax^{2} + Bx + C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f(0) = 2$, las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = 1$ y $x = 3$ sean paralelas y $f$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A4

Calcula $\displaystyle\int (x^{2} + 1)e^{x+1}\,dx$, explicando el método utilizado.

Ejercicio B4

Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones $y = 2x^{2} - 4x + 3$ e $y = x^{2} - 2x + 3$ y calcula el área de ese recinto.

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A5

Tenemos dos dados, uno normal y otro trucado. En el trucado hay 4 unos y 2 doses. Se elige un dado al azar y se tira dos veces.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?

(b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.

Ejercicio B5

Una caja que contiene 500 monedas es vaciada sobre una mesa. Halla:

(a) la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;

(b) la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;

(c) la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.