Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases} 3x + y + \alpha z = 0 \\ 2x + \alpha y + z = 1 \\ 3x + \alpha y + z = \alpha - 1 \end{cases}$$
Discute su compatibilidad en función de los valores del parámetro $\alpha$. Resuelve el sistema para $\alpha = 0$, si es posible.

Calcula las dos matrices $A$ y $B$ que satisfacen las igualdades:
$$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 2 & 9 \\ 2 & 6 & 2 & 11 \end{pmatrix},\quad 3A - 2B = \begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3 \\ -4 & 18 & -4 & 18 \end{pmatrix}.$$

La recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan perpendicularmente en el punto $P(1,-1,2)$. Si el plano $\pi$ pasa por $Q(1,2,3)$ y contiene al vector $(0,0,2)$, calcula las ecuaciones de la recta $r$ y del plano $\pi$.

Se consideran los tres planos $\pi_1 \equiv 4x+2y-4z=2$, $\pi_2 \equiv x-y-z=2$ y $\pi_3 \equiv x+ay+z=b$. ¿Existen valores de $a$ y $b$ para los que los tres planos se corten en una recta? Razona la respuesta.

Sea $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calcula sus asíntotas, halla la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=0$ y haz una representación aproximada de la gráfica.

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Halla $A, B, C$ para que $f(0) = 2$, las rectas tangentes en $x=1$ y $x=3$ sean paralelas y $f$ tenga extremo relativo en $x=-1$. ¿Ese extremo es máximo o mínimo? Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina su naturaleza.

Calcula $\displaystyle\int (x^2 + 1) e^{x+1}\, dx$, explicando el método utilizado.

Dibuja el recinto limitado por las parábolas $y = 2x^2 - 4x + 3$ e $y = x^2 - 2x + 3$, y calcula el área de ese recinto.

Tenemos dos dados: uno normal (caras 1-6, cada una con probabilidad $\tfrac16$) y otro trucado con 4 unos y 2 doses (el dado sólo tiene unos y doses; $P(1)=\tfrac46$, $P(2)=\tfrac26$). Se elige un dado al azar y se tira dos veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?
b) Sabiendo que la primera tirada ha sido un 1 y la segunda un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.

Una caja que contiene 500 monedas se vacía sobre una mesa. Halla:
a) la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;
b) la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;
c) la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.