¿Cómo se plantea un sistema de ecuaciones desde un problema verbal?

Sigue tres pasos. (1) **Define las incógnitas con una frase explícita**: identifica las cantidades desconocidas (típicamente 2 o 3) y nómbralas, por ejemplo "x = nº de productos tipo A, y = nº de productos tipo B, z = nº de productos tipo C". (2) **Traduce cada dato cuantitativo del enunciado en una ecuación lineal**: una cantidad total da una suma (x + y + z = 100), un precio total da una suma ponderada (2x + 3y + 5z = 350), una relación entre cantidades ("el doble de B que de A") da una ecuación de proporción (y = 2x). (3) **Reúne las ecuaciones en un sistema** AX = B y resuélvelo. El corrector valora especialmente la claridad de la definición y la justificación de cada ecuación.

¿Cuándo usar Gauss y cuándo Cramer para resolver un sistema?

Usa **Cramer** cuando el sistema es cuadrado (n ecuaciones, n incógnitas), \det(A) \neq 0 y el determinante es fácil de calcular: es muy rápido y permite hallar una sola incógnita sin tocar las demás (x_i = \det(A_i)/\det(A)). Usa **Gauss** cuando el sistema no sea cuadrado, cuando \det(A) = 0 (Cramer no aplica), cuando los coeficientes sean complicados, o cuando quieras resolver TODAS las incógnitas con menos riesgo de errores aritméticos: es mecánico y se basa en operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada (A|B). En PAU CCSS ambos son aceptados; la elección depende de la facilidad relativa del cálculo de determinantes vs. el escalonado.

¿Cuándo conviene aplicar la matriz inversa para resolver un sistema?

Conviene aplicar X = A^{-1}B cuando el sistema es **cuadrado**, \det(A) \neq 0 y se cumple alguna de estas condiciones: (a) ya has calculado A^{-1} en un apartado anterior del ejercicio (caso muy frecuente en Madrid y País Vasco, donde piden calcular la inversa primero y luego resolver el sistema); (b) hay que resolver el sistema para **varios vectores B distintos** (con la inversa calculada, solo cambias el segundo factor); (c) el enunciado proporciona la inversa directamente. Si solo hay un B y no tienes la inversa hecha, Cramer o Gauss suelen ser más rápidos. Si \det(A) = 0, la inversa no existe y debes usar Gauss.

¿Qué hago si el determinante del sistema es cero en PAU CCSS?

En PAU CCSS los casos con \det(A) = 0 son **poco frecuentes**, pero pueden aparecer especialmente en Cataluña con un parámetro. Si te ocurre: la regla de Cramer NO se puede aplicar y la matriz inversa NO existe. Cambia al **método de Gauss**: escalona la matriz ampliada (A|B) por filas y analiza el resultado. Si aparece una fila (0\ 0\ 0\ |\ 0), el sistema es **compatible indeterminado** (infinitas soluciones, parametrízalas con t \in \mathbb{R}). Si aparece una fila (0\ 0\ 0\ |\ k) con k \neq 0, el sistema es **incompatible** (no hay solución, indícalo explícitamente y termina). Si tras el escalonado todas las filas son no nulas, repasa el cálculo — el sistema debería seguir teniendo solución única.

Sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución)

148 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas CCSS

¿Qué son sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución) en selectividad PAU?

Los sistemas de ecuaciones son el subtema estrella del bloque de álgebra en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Aparecen en TODAS las comunidades autónomas, prácticamente siempre como problema verbal: el enunciado describe una situación real (una empresa que produce tres tipos de artículo, una mezcla de productos a distintos precios, una familia con padres e hijos de edades relacionadas, un reparto de material entre departamentos, ventas de cereales en agricultores) y pide modelizarla como sistema lineal y resolverlo.

El paso decisivo del ejercicio NO es la técnica de resolución sino el planteamiento: traducir el enunciado en ecuaciones. La estructura estándar tiene tres pasos. (1) Definición de incógnitas: identifica las cantidades desconocidas (típicamente 2 o 3) y nómbralas con una frase explícita ("

x

= kg del producto A,

y

= kg del producto B,

z

= kg del producto C"). (2) Traducción a ecuaciones: cada frase del enunciado que aporta un dato cuantitativo se convierte en una ecuación lineal. Una cantidad total (

x + y + z = 100

), un precio total (

2x + 3y + 5z = 350

), una relación entre cantidades ("se vendió el doble de B que de A":

y = 2x

). (3) Resolución del sistema por Gauss, Cramer o sustitución, e interpretación del resultado en contexto.

A diferencia de Matemáticas II, en CCSS los sistemas son numéricos concretos — NO suelen tener parámetros que exijan discusión Rouché-Frobenius. El corrector valora especialmente la claridad del planteamiento (definición de incógnitas + justificación de cada ecuación) y la interpretación final ("la fábrica produjo 20 unidades de A, 30 de B y 50 de C"). El error más penalizado es plantear mal el sistema: una incógnita confundida o una ecuación con el signo cambiado invalida toda la resolución.

Fórmulas de sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución) en PAU 📋

Forma general de un sistema lineal

3 \times 3

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases}

Estructura típica de la PAU CCSS. Cada ecuación es una traducción de un dato del enunciado. La forma matricial equivalente es

AX = B

Regla de Cramer

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \quad i = 1, \ldots, n

Sistema cuadrado con

\det(A) \neq 0

A_i

es la matriz

A

con la columna

i

sustituida por el vector

B

. Útil si los determinantes son fáciles de calcular.

Método de Gauss (operaciones elementales)

F_i \leftrightarrow F_j, \quad F_i \to k \cdot F_i \ (k \neq 0), \quad F_i \to F_i + k \cdot F_j

Tres operaciones que NO cambian el conjunto de soluciones del sistema. Se aplican sobre la matriz ampliada

(A|B)

hasta llegar a forma escalonada.

Solución por inversa

AX = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

Sistema cuadrado con

\det(A) \neq 0

. Útil sobre todo si ya tienes

A^{-1}

calculada de un apartado anterior, o si vas a resolver el sistema para varios

B

distintos.

Sistema

2 \times 2

por sustitución

\begin{cases}ax + by = c \\ dx + ey = f\end{cases} \Rightarrow y = \frac{c - ax}{b} \Rightarrow \text{sustituir en la 2}^{\underline{a}}

Para sistemas

2 \times 2

pequeños y sencillos, la sustitución es la más directa. Despeja una incógnita de la ecuación más simple y sustituye en la otra.

Cramer aplicado a

3 \times 3

x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, \quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}

Calcula 4 determinantes

3 \times 3

(el de

A

y los tres con columnas sustituidas). Más rápido que Gauss cuando los coeficientes son enteros pequeños y permite hallar una incógnita concreta sin las otras.

Cómo resolver sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución) paso a paso 📐

1
Define las incógnitas con frase explícita
Lee el enunciado e identifica las cantidades desconocidas. Nómbralas con una frase clara: "Sea $x$ = kg del producto A, $y$ = kg del producto B, $z$ = kg del producto C". Esta definición vale puntos: el corrector la exige antes de cualquier ecuación.
2
Traduce cada dato del enunciado a una ecuación
Lee frase a frase. Cantidad total → suma ( $x + y + z = 100$ ). Precio total → suma ponderada ( $2x + 3y + 5z = 350$ ). Relación entre cantidades ("el doble de B que de A") → ecuación de proporción ( $y = 2x$ ). Cada dato cuantitativo debe convertirse en exactamente una ecuación.
3
Reúne las ecuaciones en un sistema y pásalo a forma matricial
Agrupa todas las ecuaciones. Verifica que tienes tantas ecuaciones como incógnitas (sistema cuadrado), ordenadas con las incógnitas en el mismo orden ( $x, y, z$ ). Escribe la forma matricial $AX = B$ identificando la matriz de coeficientes $A$ y el vector de términos independientes $B$ .
4
Elige método de resolución (Gauss, Cramer o sustitución)
Para $2 \times 2$ sencillo: sustitución. Para $3 \times 3$ con determinante fácil: Cramer ( $x_i = \det(A_i)/\det(A)$ ). Para $3 \times 3$ con coeficientes complicados o si $\det(A) = 0$ : Gauss (escalonado por filas en la ampliada $(A|B)$ ).
5
Resuelve el sistema y verifica la solución
Aplica el método elegido con cuidado en los signos. Una vez obtenida la solución $(x, y, z)$ , sustitúyela en las ecuaciones originales para verificar que se cumplen todas. Si alguna no se cumple, hay error en algún paso.
6
Interpreta el resultado en el contexto del enunciado
Devuelve la solución al lenguaje del problema: "La fábrica produjo 20 unidades del producto A, 30 del producto B y 50 del producto C". El corrector valora esta frase final con hasta 0,25 puntos en algunas comunidades — sin interpretación, el ejercicio queda incompleto.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución)? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
En el planteamiento, subraya los datos cuantitativos del enunciado y anótalos junto a las ecuaciones que generan. Te aseguras de no olvidar ningún dato — la causa #1 de sistemas mal planteados.
✓
En sistemas $3 \times 3$ con coeficientes pequeños y enteros, Cramer suele ser más rápido que Gauss: 4 determinantes $3 \times 3$ por Sarrus se calculan en 5 minutos sin errores.
✓
Si el enunciado contiene una relación directa del tipo " $y = 2x$ " o " $z = x + y$ ", úsala para reducir el sistema a 2 incógnitas antes de empezar — ahorras tiempo de cálculo.
✓
Cuando uses Gauss, elige como pivote el coeficiente más sencillo (idealmente un 1) intercambiando filas si hace falta. Reduce drásticamente los errores con fracciones.
✓
Termina SIEMPRE con una frase de interpretación en contexto: "Por tanto, la mezcla contiene 20 kg de A, 30 kg de B y 50 kg de C". El corrector lo valora explícitamente en los criterios de PAU CCSS.

Errores frecuentes al resolver sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución) que penalizan el corrector ⚠

×
No definir las incógnitas con frase explícita antes de plantear las ecuaciones (el corrector resta hasta 0,5 puntos por falta de claridad inicial).
×
Confundir cantidades absolutas con relaciones porcentuales: "se vendió un 20% más de B que de A" NO es $y = x + 20$ sino $y = 1{,}2x$ .
×
Plantear ecuaciones inconsistentes (más ecuaciones que datos del enunciado, o ecuaciones redundantes) que dan un sistema sobre-determinado o indeterminado sin que el enunciado lo justifique.
×
Aplicar Cramer sin comprobar que $\det(A) \neq 0$ : si el determinante es cero, la fórmula no se puede usar y hay que cambiar a Gauss.
×
Olvidar la interpretación final del resultado en contexto del problema: dar solo los valores numéricos $(x, y, z) = (20, 30, 50)$ sin frase devolviéndolos al enunciado.

Preguntas frecuentes sobre sistemas de ecuaciones (planteamiento y resolución) en PAU 💬

¿Cómo se plantea un sistema de ecuaciones desde un problema verbal?: Sigue tres pasos. (1) Define las incógnitas con una frase explícita: identifica las cantidades desconocidas (típicamente 2 o 3) y nómbralas, por ejemplo " $x$ = nº de productos tipo A, $y$ = nº de productos tipo B, $z$ = nº de productos tipo C". (2) Traduce cada dato cuantitativo del enunciado en una ecuación lineal: una cantidad total da una suma ( $x + y + z = 100$ ), un precio total da una suma ponderada ( $2x + 3y + 5z = 350$ ), una relación entre cantidades ("el doble de B que de A") da una ecuación de proporción ( $y = 2x$ ). (3) Reúne las ecuaciones en un sistema $AX = B$ y resuélvelo. El corrector valora especialmente la claridad de la definición y la justificación de cada ecuación.
¿Cuándo usar Gauss y cuándo Cramer para resolver un sistema?: Usa Cramer cuando el sistema es cuadrado ( $n$ ecuaciones, $n$ incógnitas), $\det(A) \neq 0$ y el determinante es fácil de calcular: es muy rápido y permite hallar una sola incógnita sin tocar las demás ( $x_i = \det(A_i)/\det(A)$ ). Usa Gauss cuando el sistema no sea cuadrado, cuando $\det(A) = 0$ (Cramer no aplica), cuando los coeficientes sean complicados, o cuando quieras resolver TODAS las incógnitas con menos riesgo de errores aritméticos: es mecánico y se basa en operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada $(A|B)$ . En PAU CCSS ambos son aceptados; la elección depende de la facilidad relativa del cálculo de determinantes vs. el escalonado.
¿Cuándo conviene aplicar la matriz inversa para resolver un sistema?: Conviene aplicar $X = A^{-1}B$ cuando el sistema es cuadrado, $\det(A) \neq 0$ y se cumple alguna de estas condiciones: (a) ya has calculado $A^{-1}$ en un apartado anterior del ejercicio (caso muy frecuente en Madrid y País Vasco, donde piden calcular la inversa primero y luego resolver el sistema); (b) hay que resolver el sistema para **varios vectores $B$ distintos** (con la inversa calculada, solo cambias el segundo factor); (c) el enunciado proporciona la inversa directamente. Si solo hay un $B$ y no tienes la inversa hecha, Cramer o Gauss suelen ser más rápidos. Si $\det(A) = 0$ , la inversa no existe y debes usar Gauss.
¿Qué hago si el determinante del sistema es cero en PAU CCSS?: En PAU CCSS los casos con $\det(A) = 0$ son poco frecuentes, pero pueden aparecer especialmente en Cataluña con un parámetro. Si te ocurre: la regla de Cramer NO se puede aplicar y la matriz inversa NO existe. Cambia al método de Gauss: escalona la matriz ampliada $(A|B)$ por filas y analiza el resultado. Si aparece una fila $(0\ 0\ 0\ |\ 0)$ , el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, parametrízalas con $t \in \mathbb{R}$ ). Si aparece una fila $(0\ 0\ 0\ |\ k)$ con $k \neq 0$ , el sistema es incompatible (no hay solución, indícalo explícitamente y termina). Si tras el escalonado todas las filas son no nulas, repasa el cálculo — el sistema debería seguir teniendo solución única.

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