¿Qué propiedades del determinante son más útiles en selectividad?

Las más rentables son: (1) si una fila o columna es nula, \det = 0; (2) si dos filas son proporcionales, \det = 0; (3) operaciones del tipo F_i \to F_i + \lambda F_j no cambian el determinante (clave para triangular); (4) \det(AB) = \det(A)\det(B); (5) \det(A^t) = \det(A). Aplicarlas antes de calcular puede reducir un determinante 4 \times 4 a uno trivial.

¿Cuándo conviene Sarrus y cuándo desarrollo por adjuntos?

**Sarrus** solo vale para 3 \times 3 y es la opción más rápida si los números son sencillos. **Desarrollo por adjuntos** funciona para cualquier orden y conviene cuando hay ceros en alguna fila o columna (cada cero elimina un menor que habría que calcular). Para 4 \times 4 o mayor, el desarrollo por adjuntos es obligatorio, eligiendo siempre la fila o columna con más ceros.

¿Cómo se discute un determinante con parámetro?

Se calcula el determinante en función del parámetro (normalmente \lambda, a o m), se **factoriza** el polinomio resultante y se identifican los valores que lo anulan. Para cada valor crítico se estudia el rango por separado; fuera de esos valores, \det \neq 0 y la matriz es invertible. Es el primer paso obligatorio en discusiones tipo Rouché-Frobenius con parámetro.

¿Qué significa que un determinante valga cero?

Que la matriz es **singular** (no invertible) y que sus filas (o columnas) son **linealmente dependientes**. Geométricamente, indica que la transformación lineal asociada colapsa el espacio en uno de dimensión menor (un volumen se anula). En sistemas de ecuaciones lineales, \det = 0 implica que el sistema NO se puede resolver por Cramer y hay que discutir el rango (Rouché-Frobenius) para saber si es compatible determinado, indeterminado o incompatible.

Determinantes

39 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son determinantes en selectividad PAU?

El determinante

\det(A)

de una matriz cuadrada

A

de orden

n

es un número real que codifica información esencial: una matriz es invertible si y solo si

\det(A) \neq 0

, el determinante es el factor de escala del cambio de área/volumen en transformaciones lineales, y permite calcular el rango y resolver sistemas por la regla de Cramer. En la PAU de Matemáticas II aparece prácticamente en todos los exámenes, ya sea como pregunta directa de cálculo o como herramienta intermedia para inversa, rango y discusión de sistemas.

Los métodos de cálculo dependen del orden. Para

2 \times 2

: producto cruzado

\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc

. Para

3 \times 3

: regla de Sarrus o desarrollo por adjuntos (cofactores). Para órdenes superiores: desarrollo por adjuntos por la fila/columna con más ceros, o triangulación por operaciones elementales. Las propiedades ahorran tiempo: si una fila o columna es nula,

\det = 0

; si dos filas son proporcionales,

\det = 0

; el determinante de una matriz triangular es el producto de la diagonal;

\det(A^t) = \det(A)

;

\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)

; y la fundamental

\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)

.

El corrector valora el uso inteligente de propiedades para simplificar antes de calcular: una fila de ceros, una columna que sea suma de otras, o triangulación previa pueden reducir un cálculo de 30 minutos a 5. Penaliza con dureza los errores de signo en los cofactores y olvidar el factor

(-1)^{i+j}

al desarrollar.

Fórmulas de determinantes en PAU 📋

Determinante

2 \times 2

\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc

Atajo directo. Producto de la diagonal principal menos producto de la antidiagonal. Memorizar y aplicar sin cálculo intermedio.

Regla de Sarrus (

3 \times 3

)

\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Solo para

3 \times 3

. Suma las tres diagonales descendentes y resta las tres ascendentes. Es la forma más rápida cuando los números son sencillos.

Desarrollo por adjuntos (orden

n

)

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \, M_{ij}

Para órdenes

\geq 4

o cuando una fila/columna tiene ceros. Elige la fila o columna con más ceros para reducir el número de menores a calcular.

Determinante del producto

\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)

Propiedad clave. Útil cuando piden

\det(AB)

sin calcular

AB

, o cuando hay que demostrar que un producto es invertible.

Propiedades por filas/columnas

\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A) \quad ; \quad \det(A^t) = \det(A) \quad ; \quad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}

Multiplicar por escalar afecta a CADA fila — eleva

\lambda

n

(orden). Traspuesta no cambia el determinante. Inversa lo invierte.

Determinante con parámetro

\det(A(\lambda)) = 0 \Rightarrow \text{valores de } \lambda

En discusiones de sistemas con parámetro: el determinante factorizado da los valores críticos donde el rango baja y hay que estudiar caso aparte.

Cómo resolver determinantes paso a paso 📐

1
Antes de calcular, busca propiedades que anulen el determinante
Si hay una fila o columna de ceros → $\det = 0$ directo. Si dos filas o dos columnas son proporcionales → $\det = 0$ . Si una fila es suma de otras → $\det = 0$ . Estos casos se resuelven sin un solo cálculo.
2
Para $2 \times 2$ aplica la fórmula directa
Producto de diagonal principal menos producto de la antidiagonal: $ad - bc$ . Sin más pasos. Para $3 \times 3$ usa Sarrus si los números son pequeños.
3
Para órdenes $\geq 3$ con números feos, usa desarrollo por adjuntos
Elige la fila o columna con más ceros para minimizar el número de menores a calcular. Aplica $\det(A) = \sum (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$ sumando solo los términos no nulos.
4
O reduce a triangular por operaciones elementales
Operaciones del tipo $F_i \to F_i + \lambda F_j$ NO cambian el determinante. Llega a una matriz triangular y multiplica los elementos de la diagonal — método mecánico para órdenes $4 \times 4$ o superiores.
5
Si hay parámetro, factoriza el determinante
Calcula $\det(A(\lambda))$ en función del parámetro, factoriza el polinomio resultante y obtén los valores que anulan el determinante. Esos valores son los puntos críticos para la discusión.
6
Verifica el signo y comprueba con propiedades
Errores de signo son los más frecuentes. Si el resultado parece sospechoso, comprueba con $\det(A^t) = \det(A)$ o calculando por otra fila/columna y comparando.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para determinantes? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de empezar, escanea la matriz: filas o columnas nulas, proporcionales o que sumen a otra → determinante 0 sin un solo cálculo. Ahorra el ejercicio entero.
✓
En desarrollo por adjuntos, siempre por la fila o columna con más ceros. Cada cero te ahorra un menor de orden $n-1$ — en $4 \times 4$ con 2 ceros, ahorras la mitad del trabajo.
✓
Para $4 \times 4$ con números enteros pequeños, triangulación por filas suele ser más rápida que adjuntos. Las operaciones $F_i \to F_i + \lambda F_j$ no alteran el determinante.
✓
Si la matriz tiene ceros en bloque (diagonal por bloques), $\det =$ producto de los determinantes de los bloques. Aparece en Cataluña y País Vasco.
✓
Para $\det(AB)$ no calcules $AB$ : usa $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ . Igual para $\det(A^k) = (\det(A))^k$ y $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ .

Errores frecuentes al resolver determinantes que penalizan el corrector ⚠

×
Olvidar el factor $(-1)^{i+j}$ al desarrollar por adjuntos — error de signo más penalizado del bloque.
×
En Sarrus, intercambiar el signo de las diagonales ascendentes y descendentes (sumar las ascendentes en lugar de restarlas).
×
Confundir $\det(\lambda A) = \lambda \det(A)$ con la fórmula correcta $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ (el escalar afecta a todas las filas).
×
Hacer operaciones elementales del tipo $F_i \to 2 F_i$ y olvidar que esto multiplica el determinante por 2 (no es neutra como $F_i \to F_i + \lambda F_j$ ).
×
Calcular $\det(A+B)$ como $\det(A) + \det(B)$ — esta identidad es FALSA en general. Solo $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ es válida.

Preguntas frecuentes sobre determinantes en PAU 💬

¿Qué propiedades del determinante son más útiles en selectividad?: Las más rentables son: (1) si una fila o columna es nula, $\det = 0$ ; (2) si dos filas son proporcionales, $\det = 0$ ; (3) operaciones del tipo $F_i \to F_i + \lambda F_j$ no cambian el determinante (clave para triangular); (4) $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ ; (5) $\det(A^t) = \det(A)$ . Aplicarlas antes de calcular puede reducir un determinante $4 \times 4$ a uno trivial.
¿Cuándo conviene Sarrus y cuándo desarrollo por adjuntos?: Sarrus solo vale para $3 \times 3$ y es la opción más rápida si los números son sencillos. Desarrollo por adjuntos funciona para cualquier orden y conviene cuando hay ceros en alguna fila o columna (cada cero elimina un menor que habría que calcular). Para $4 \times 4$ o mayor, el desarrollo por adjuntos es obligatorio, eligiendo siempre la fila o columna con más ceros.
¿Cómo se discute un determinante con parámetro?: Se calcula el determinante en función del parámetro (normalmente $\lambda$ , $a$ o $m$ ), se factoriza el polinomio resultante y se identifican los valores que lo anulan. Para cada valor crítico se estudia el rango por separado; fuera de esos valores, $\det \neq 0$ y la matriz es invertible. Es el primer paso obligatorio en discusiones tipo Rouché-Frobenius con parámetro.
¿Qué significa que un determinante valga cero?: Que la matriz es singular (no invertible) y que sus filas (o columnas) son linealmente dependientes. Geométricamente, indica que la transformación lineal asociada colapsa el espacio en uno de dimensión menor (un volumen se anula). En sistemas de ecuaciones lineales, $\det = 0$ implica que el sistema NO se puede resolver por Cramer y hay que discutir el rango (Rouché-Frobenius) para saber si es compatible determinado, indeterminado o incompatible.

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