¿Cómo se despeja $X$ en una ecuación matricial?

Hay que **aislar X** multiplicando por la inversa de la matriz que la acompaña, respetando el lado. Si la ecuación es AX = B, premultiplicas por A^{-1}: X = A^{-1}B. Si es XA = B, postmultiplicas por A^{-1}: X = BA^{-1}. Si es AXB = C, ambos: X = A^{-1}CB^{-1}. Antes de invertir hay que comprobar que el determinante de cada matriz a invertir es no nulo.

¿Por qué importa el orden al multiplicar por la inversa?

Porque el producto de matrices **no es conmutativo**: A^{-1}B \neq BA^{-1} en general. Si la ecuación es AX = B y multiplicas por A^{-1} por la derecha (obteniendo XA^{-1}), el lado izquierdo queda AXA^{-1}, que NO simplifica a X. Solo multiplicar por el lado correcto (el mismo donde está A respecto a X) deja A^{-1}A = I y aísla X. Un error de lado invalida el cálculo entero.

¿Qué hacer si la matriz $A$ no tiene inversa?

Si \det(A) = 0, no se puede usar el método de la inversa. Hay que **plantear X con incógnitas x_{ij}** (por ejemplo X = \begin{pmatrix}x & y \\ z & t\end{pmatrix} para 2 \times 2), realizar el producto AX o XA simbólicamente, igualar componente a componente a la matriz B y resolver el sistema lineal resultante. El sistema puede ser compatible determinado, indeterminado o incompatible, según el caso.

¿Cómo se resuelven ecuaciones matriciales con $X$ a ambos lados?

Se agrupan los términos con X en un lado mediante suma o resta matricial y se **saca factor común** X por el lado adecuado. Por ejemplo, AX = BX + C \Rightarrow AX - BX = C \Rightarrow (A - B)X = C, y si \det(A-B) \neq 0 entonces X = (A-B)^{-1}C. El factor común se saca por el mismo lado donde está X — si X está a la derecha, (A-B)X; si está a la izquierda, X(A-B).

Ecuaciones matriciales

63 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son ecuaciones matriciales en selectividad PAU?

Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita es una matriz

X

y donde aparecen productos del tipo

AX = B

XA = B

AXB = C

. Es el subtema con más ejercicios en la base de datos PAU (91 problemas) y aparece prácticamente en todas las comunidades autónomas: Andalucía y Madrid lo plantean como apartado de 1-1,5 puntos, Cataluña suele combinarlo con discusión por parámetro, y País Vasco frecuentemente incluye traspuestas

A^t

en la ecuación.

La técnica fundamental para despejar

X

es multiplicar ambos lados por la inversa de la matriz que multiplica a

X

, respetando el lado: si

A

multiplica a

X

por la izquierda (

AX = B

), se multiplica por

A^{-1}

por la izquierda y queda

X = A^{-1}B

; si

A

multiplica por la derecha (

XA = B

), se multiplica por

A^{-1}

por la derecha y queda

X = B \, A^{-1}

. En ecuaciones tipo

AXB = C

con dos matrices a invertir hay que pre-multiplicar por

A^{-1}

y post-multiplicar por

B^{-1}

X = A^{-1} \, C \, B^{-1}

. El producto de matrices NO es conmutativo, así que el orden importa:

A^{-1}B

B A^{-1}

son matrices distintas.

Antes de invertir, hay que comprobar que las matrices implicadas son cuadradas y que su determinante es no nulo. Si la matriz no tiene inversa, hay que resolver por el sistema de ecuaciones elemento a elemento (planteando

X

con incógnitas

x_{ij}

). El corrector valora la justificación previa de invertibilidad y penaliza con dureza invertir el lado equivocado: es el error más frecuente del subtema.

Fórmulas de ecuaciones matriciales en PAU 📋

Tipo

AX = B

(premultiplicar)

AX = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

A

multiplica a

X

por la izquierda. Premultiplica ambos lados por

A^{-1}

A^{-1}AX = A^{-1}B \Rightarrow IX = A^{-1}B \Rightarrow X = A^{-1}B

Tipo

XA = B

(postmultiplicar)

XA = B \Rightarrow X = B \cdot A^{-1}

A

multiplica a

X

por la derecha. Postmultiplica por

A^{-1}

XAA^{-1} = BA^{-1} \Rightarrow X = BA^{-1}

. NO escribir

A^{-1}B

— es otra matriz distinta.

Tipo

AXB = C

(ambos lados)

AXB = C \Rightarrow X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}

Premultiplica por

A^{-1}

y postmultiplica por

B^{-1}

— en ese orden, respetando los lados. Comprueba

\det(A) \neq 0

\det(B) \neq 0

Con suma:

AX + X = B \Rightarrow (A+I)X = B

AX + X = B \Rightarrow (A + I) X = B \Rightarrow X = (A + I)^{-1} \cdot B

Saca factor común

X

por la derecha. Comprueba que

A + I

es invertible:

\det(A+I) \neq 0

. El factor común se saca como matriz, no como número.

Con traspuestas:

A^t X = B

A^t X = B \Rightarrow X = (A^t)^{-1} \cdot B = (A^{-1})^t \cdot B

Frecuente en País Vasco. Usa

(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t

(la inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa).

Cómo resolver ecuaciones matriciales paso a paso 📐

1
Identifica el tipo de ecuación y dónde está $X$
Distingue si $X$ está multiplicada por la izquierda ( $AX = B$ ), por la derecha ( $XA = B$ ), o por ambos lados ( $AXB = C$ ). El tipo determina por qué lado hay que multiplicar por la inversa.
2
Despeja $X$ aislándola con la inversa, respetando el lado
Multiplica ambos miembros por la inversa adecuada por el mismo lado. $AX = B$ premultiplica por $A^{-1}$ . $XA = B$ postmultiplica por $A^{-1}$ . Nunca cambies el lado: el producto no conmuta.
3
Antes de calcular, comprueba que la inversa existe
Calcula $\det$ de las matrices a invertir. Si $\det \neq 0$ , sigue. Si $\det = 0$ , la ecuación no tiene solución por inversa: hay que plantear $X$ con incógnitas $x_{ij}$ y resolver el sistema componente a componente.
4
Calcula la inversa por el método más eficiente
Para $2 \times 2$ : fórmula directa $\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ . Para $3 \times 3$ : adjuntos o Gauss-Jordan. Comprueba con $A \cdot A^{-1} = I$ .
5
Realiza el producto matricial final $X = A^{-1}B$ (o el orden que corresponda)
Producto fila por columna. Verifica las dimensiones: si $A$ es $n \times n$ y $B$ es $n \times p$ , $X$ resulta $n \times p$ . Si las dimensiones no encajan, hay error en el despeje.
6
Verifica sustituyendo $X$ en la ecuación original
Multiplica $A \cdot X$ (o $X \cdot A$ según el caso) y comprueba que da $B$ . Si no coincide, hay error en algún paso — habitualmente en la inversa o en el orden del producto final.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para ecuaciones matriciales? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de invertir, **mira el lado donde está $A$ **: si está a la izquierda de $X$ , premultiplicas por $A^{-1}$ ; si está a la derecha, postmultiplicas. Esto es el 50% del apartado — un error aquí lo invalida entero.
✓
En ecuaciones con suma como $AX + X = B$ , **saca factor común $X$ por la derecha** dejando $(A + I)X = B$ . NO escribas $X(A+I)$ — el orden importa porque el factor sale por el mismo lado donde está $X$ .
✓
Si aparece $X$ a ambos lados con coeficientes distintos ( $AX = BX + C$ ), pásalo todo a un lado: $AX - BX = C \Rightarrow (A - B)X = C \Rightarrow X = (A-B)^{-1}C$ . Comprueba $\det(A-B) \neq 0$ .
✓
Cuando hay traspuestas, recuerda $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ y $(AB)^t = B^t A^t$ . Simplificar con estas identidades antes de calcular suele ahorrar la mitad del trabajo.
✓
Si la matriz $A$ NO tiene inversa, plantea $X$ como matriz genérica con incógnitas $x_{ij}$ y resuelve el sistema lineal resultante igualando componente a componente con $B$ . Aparece sobre todo en Cataluña.

Errores frecuentes al resolver ecuaciones matriciales que penalizan el corrector ⚠

×
Multiplicar por la inversa por el lado equivocado: escribir $X = BA^{-1}$ cuando la ecuación era $AX = B$ (correcto $X = A^{-1}B$ ). Error más penalizado del subtema.
×
No comprobar que $\det(A) \neq 0$ antes de calcular $A^{-1}$ .
×
En ecuaciones con suma, sacar mal el factor común: escribir $X(A+I) = B$ cuando lo correcto es $(A+I)X = B$ , según el lado por el que se haya factorizado.
×
Calcular la inversa correctamente pero hacer mal el producto final $A^{-1} \cdot B$ (errores fila por columna o de signo).
×
Cuando la matriz $A$ no es invertible, no replantear por sistema componente a componente y dar el problema por irresoluble.

Preguntas frecuentes sobre ecuaciones matriciales en PAU 💬

¿Cómo se despeja $X$ en una ecuación matricial?: Hay que **aislar $X$ ** multiplicando por la inversa de la matriz que la acompaña, respetando el lado. Si la ecuación es $AX = B$ , premultiplicas por $A^{-1}$ : $X = A^{-1}B$ . Si es $XA = B$ , postmultiplicas por $A^{-1}$ : $X = BA^{-1}$ . Si es $AXB = C$ , ambos: $X = A^{-1}CB^{-1}$ . Antes de invertir hay que comprobar que el determinante de cada matriz a invertir es no nulo.
¿Por qué importa el orden al multiplicar por la inversa?: Porque el producto de matrices no es conmutativo: $A^{-1}B \neq BA^{-1}$ en general. Si la ecuación es $AX = B$ y multiplicas por $A^{-1}$ por la derecha (obteniendo $XA^{-1}$ ), el lado izquierdo queda $AXA^{-1}$ , que NO simplifica a $X$ . Solo multiplicar por el lado correcto (el mismo donde está $A$ respecto a $X$ ) deja $A^{-1}A = I$ y aísla $X$ . Un error de lado invalida el cálculo entero.
¿Qué hacer si la matriz $A$ no tiene inversa?: Si $\det(A) = 0$ , no se puede usar el método de la inversa. Hay que **plantear $X$ con incógnitas $x_{ij}$ ** (por ejemplo $X = \begin{pmatrix}x & y \\ z & t\end{pmatrix}$ para $2 \times 2$ ), realizar el producto $AX$ o $XA$ simbólicamente, igualar componente a componente a la matriz $B$ y resolver el sistema lineal resultante. El sistema puede ser compatible determinado, indeterminado o incompatible, según el caso.
¿Cómo se resuelven ecuaciones matriciales con $X$ a ambos lados?: Se agrupan los términos con $X$ en un lado mediante suma o resta matricial y se saca factor común $X$ por el lado adecuado. Por ejemplo, $AX = BX + C \Rightarrow AX - BX = C \Rightarrow (A - B)X = C$ , y si $\det(A-B) \neq 0$ entonces $X = (A-B)^{-1}C$ . El factor común se saca por el mismo lado donde está $X$ — si $X$ está a la derecha, $(A-B)X$ ; si está a la izquierda, $X(A-B)$ .

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Madrid·Extraordinaria 2025·Pregunta 1

Bloque 1 (optativa entre 1.1 y 1.2): sistema con parámetro k y matrices simétricas

k

1.1 a)

Discusión del sistema según k.

1.1 b)

Resolución para k=0.

1.2 a)

Matrices simétricas B con BA=(A+

A^{2}

)B.

1.2 b)

Cálculo de A_2025 por la recurrencia

A_{n+1}

=A_n^2+A_n.

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