¿Cómo se calcula el rango de una matriz en selectividad?

Hay dos métodos. (1) **Menores**: buscar el mayor menor cuadrado con determinante no nulo; el orden de ese menor es el rango. (2) **Gauss**: aplicar operaciones elementales por filas hasta llegar a forma escalonada y contar las filas no nulas resultantes. Para matrices con parámetro, conviene menores (factorizar el determinante crítico). Para matrices grandes sin parámetro, conviene Gauss (mecánico y rápido).

¿Qué dice el Teorema de Rouché-Frobenius?

Para un sistema AX = B con n incógnitas, el teorema clasifica la compatibilidad comparando rangos. Si \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n: **sistema compatible determinado** (solución única). Si \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) \text{rg}(A)): **sistema incompatible** (sin solución).

¿Cómo se discute el rango de una matriz con parámetro?

Se calcula el determinante de la submatriz cuadrada de orden máximo en función del parámetro \lambda y se **factoriza**. Los valores que anulan el determinante son los **puntos críticos**. Para cada valor crítico se estudia el rango por separado (orlando menores de orden inferior o aplicando Gauss). Para los demás valores de \lambda, el rango es máximo. Se presenta el resultado en tabla con todos los casos.

¿Por qué el rango por filas coincide con el rango por columnas?

Porque ambos miden la **dimensión del espacio vectorial** generado por las filas (espacio fila) o por las columnas (espacio columna) de la matriz, y estos dos espacios tienen siempre la misma dimensión. Es un resultado del álgebra lineal: \dim(\text{espacio fila}) = \dim(\text{espacio columna}) = \text{rg}(A). En la práctica, esto significa que puedes calcular el rango operando por filas (Gauss) o por columnas indistintamente.

Rango de matrices

27 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué es el rango de matrices en selectividad PAU?

El rango

\text{rg}(A)

de una matriz

A

es el orden del mayor menor cuadrado con determinante no nulo que se puede extraer de

A

. Equivalentemente, es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. El rango es el concepto puente entre matrices y sistemas de ecuaciones lineales: el Teorema de Rouché-Frobenius decide la compatibilidad de un sistema comparando

\text{rg}(A)

con

\text{rg}(A|B)

y con el número de incógnitas

n

.

Hay dos métodos principales para calcular el rango. El método de los menores busca el mayor submenor cuadrado con

\det \neq 0

: se empieza por menores de orden alto y se baja hasta encontrar uno no nulo. El método de Gauss (escalonado por filas) transforma la matriz a forma escalonada mediante operaciones elementales que no cambian el rango; el rango final es el número de filas no nulas de la matriz escalonada. Para PAU el método de Gauss suele ser más rápido en matrices

3 \times 4

o mayores; los menores son más rápidos cuando ya hay ceros estratégicos o cuando hay parámetro y se quiere factorizar el determinante.

En problemas con parámetro, el procedimiento estándar es: calcular el determinante de la matriz cuadrada más grande, factorizarlo, identificar los valores que lo anulan, y para cada valor crítico estudiar el rango caso por caso (orlando menores o aplicando Gauss). En Rouché-Frobenius: si

\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n

→ SCD; si

\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n

→ SCI con

n - \text{rg}(A)

parámetros; si

\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A|B)

→ SI. El corrector exige justificar cada caso por separado y enunciar el teorema antes de aplicarlo.

Fórmulas de rango de matrices en PAU 📋

Definición por menores

\text{rg}(A) = \max\{r : \exists \text{ menor de orden } r \text{ con } \det \neq 0\}

Definición operativa. El rango es el orden del mayor menor cuadrado no nulo. Empieza por menores grandes y baja si todos son nulos.

Rango y dependencia lineal

\text{rg}(A) = \text{nº filas linealmente independientes} = \text{nº columnas linealmente independientes}

El rango por filas coincide con el rango por columnas. Útil para argumentar dependencia: si una fila es combinación lineal de otras, no aporta al rango.

Rango y determinante (matriz cuadrada)

A_{n \times n}: \text{rg}(A) = n \iff \det(A) \neq 0

En matrices cuadradas, rango máximo equivale a determinante no nulo y a invertibilidad. Si

\det = 0

, el rango es estrictamente menor que

n

Teorema de Rouché-Frobenius

\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n \Rightarrow \text{SCD} \quad ; \quad \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n \Rightarrow \text{SCI} \quad ; \quad \text{rg}(A) \neq \text{rg}(A|B) \Rightarrow \text{SI}

Discusión de sistemas

AX = B

. Compara rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas

n

Rango con parámetro

\det(A(\lambda)) = 0 \Rightarrow \lambda = \lambda_1, \lambda_2, \ldots

Para cada valor crítico

\lambda_i

se estudia el rango por separado, normalmente orlando con menores de orden inferior. Fuera de los valores críticos,

\text{rg}(A) = n

Cómo resolver problemas de rango de matrices paso a paso 📐

1
Identifica el orden de la matriz y el rango máximo posible
Si $A$ es $m \times n$ , entonces $\text{rg}(A) \leq \min(m, n)$ . Este es el techo: nunca puede ser mayor. Lo anotas como referencia antes de empezar.
2
Elige método: menores o Gauss
Si la matriz es pequeña ( $3 \times 3$ , $3 \times 4$ ) y tiene parámetro → menores (factorizas el determinante). Si es más grande y sin parámetro → Gauss (escalonas y cuentas filas no nulas). Para matrices con ceros estratégicos, menores suele ser más rápido.
3
Método de menores: busca un menor no nulo del orden máximo
Empieza por el menor cuadrado del orden máximo posible ( $\min(m, n)$ ). Si $\det \neq 0$ → rango = ese orden, listo. Si $\det = 0$ , baja al siguiente orden y prueba. Si encuentras un menor no nulo de orden $r$ , comprueba que todos los menores de orden $r+1$ que lo contienen son nulos (orlado) para confirmar.
4
Método de Gauss: escalona por filas
Aplica operaciones $F_i \to F_i + \lambda F_j$ (no cambian el rango) hasta llegar a forma escalonada. Cuenta las filas con al menos un elemento no nulo: ese número es el rango. Si una fila se anula entera al escalonar, indica que era dependiente.
5
Si hay parámetro, factoriza el determinante crítico
Calcula el determinante de la submatriz cuadrada más grande y factorízalo: $\det(A(\lambda)) = (\lambda - a)(\lambda - b)\ldots$ . Los valores $\lambda = a, b, \ldots$ son los puntos donde el rango baja. Estudia cada caso por separado.
6
Aplica Rouché-Frobenius si el problema es un sistema
Compara $\text{rg}(A)$ con $\text{rg}(A|B)$ y con $n$ (incógnitas). Enuncia el teorema y conclúyelo en SCD, SCI o SI. Para SCI, indica el número de parámetros: $n - \text{rg}(A)$ .

¿Qué trucos usa el corrector PAU para el rango de matrices? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de calcular, mira filas o columnas dependientes: si dos filas son proporcionales o una es suma de otras, sabes que el rango es estrictamente menor que el número de filas — ahorras tiempo.
✓
Con parámetro, factoriza el determinante lo antes posible: $\det(A(\lambda)) = (\lambda - 1)(\lambda + 2)$ te da $\lambda = 1$ y $\lambda = -2$ directamente, sin desarrollar más.
✓
En Gauss para rango, no hace falta llegar a forma reducida — basta con forma escalonada. Para de operar en cuanto las filas inferiores tengan más ceros a la izquierda que las superiores.
✓
En Rouché-Frobenius con parámetro, distingue claramente los tres casos: (1) valores donde el rango baja en $A$ pero NO en $A|B$ → SI; (2) valores donde baja en ambos → SCI; (3) caso general → SCD. Hazlo en tabla.
✓
Si la matriz tiene una fila o columna obvia con todas las dependencias (ej. una columna entera múltiplo de otra), el rango baja por ese hecho aunque el resto esté bien — anótalo como argumento previo al cálculo.

Errores frecuentes al resolver problemas de rango de matrices que penalizan el corrector ⚠

×
Confundir $\text{rg}(A) = m$ con $\text{rg}(A) = n$ — el rango máximo es $\min(m, n)$ , no el número de filas o columnas a secas.
×
Aplicar la operación elemental $F_i \to 2 F_i$ pensando que no cambia el rango — sí lo conserva, pero cambia el determinante (no usar este matiz en discusiones con $\det$ ).
×
En problemas con parámetro, no estudiar cada caso por separado: dar el rango general y olvidar los valores críticos donde baja.
×
Confundir Rouché-Frobenius: aplicarlo solo con $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B)$ sin comparar con $n$ — falta distinguir entre SCD y SCI.
×
Olvidar la comprobación de orlado al usar menores: encontrar un menor de orden $r$ no nulo no demuestra que el rango sea $r$ si no se verifica que los de orden $r+1$ son todos nulos.

Preguntas frecuentes sobre rango de matrices en PAU 💬

¿Cómo se calcula el rango de una matriz en selectividad?: Hay dos métodos. (1) Menores: buscar el mayor menor cuadrado con determinante no nulo; el orden de ese menor es el rango. (2) Gauss: aplicar operaciones elementales por filas hasta llegar a forma escalonada y contar las filas no nulas resultantes. Para matrices con parámetro, conviene menores (factorizar el determinante crítico). Para matrices grandes sin parámetro, conviene Gauss (mecánico y rápido).
¿Qué dice el Teorema de Rouché-Frobenius?: Para un sistema $AX = B$ con $n$ incógnitas, el teorema clasifica la compatibilidad comparando rangos. Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n$ : sistema compatible determinado (solución única). Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n$ : sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con $n - \text{rg}(A)$ parámetros). Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A|B)$ (siempre $\text{rg}(A|B) > \text{rg}(A)$ ): sistema incompatible (sin solución).
¿Cómo se discute el rango de una matriz con parámetro?: Se calcula el determinante de la submatriz cuadrada de orden máximo en función del parámetro $\lambda$ y se factoriza. Los valores que anulan el determinante son los puntos críticos. Para cada valor crítico se estudia el rango por separado (orlando menores de orden inferior o aplicando Gauss). Para los demás valores de $\lambda$ , el rango es máximo. Se presenta el resultado en tabla con todos los casos.
¿Por qué el rango por filas coincide con el rango por columnas?: Porque ambos miden la dimensión del espacio vectorial generado por las filas (espacio fila) o por las columnas (espacio columna) de la matriz, y estos dos espacios tienen siempre la misma dimensión. Es un resultado del álgebra lineal: $\dim(\text{espacio fila}) = \dim(\text{espacio columna}) = \text{rg}(A)$ . En la práctica, esto significa que puedes calcular el rango operando por filas (Gauss) o por columnas indistintamente.

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La Rioja·Ordinaria 2025·Pregunta 5

Numeros y Algebra - Matrices

Rango y determinante de matrices

Responda a los dos subapartados siguientes. a) (1,25 puntos) Dada la matriz A = [[1,0,1],[1,1,-1],[1,0,3]], estudia el rango de la matriz A - lambda I, según los valores de lambda en R, donde I es la matriz identidad de orden 3. b) (1,25 puntos) Dada la matriz A = [[1,-1,2,0],[2,1,3,1],[0,1,-1,2],[0,0,4,-1]], calcula su determinante. Que solución tiene el sistema AX = b siendo b = (0,0,0,0)^T?

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