¿Cuándo existe la matriz inversa?

Una matriz tiene inversa si y solo si es **cuadrada** y su **determinante es distinto de cero**. En ese caso se dice que la matriz es **regular** o **no singular**. Si el determinante es cero, la matriz es singular y no admite inversa.

¿Cómo se calcula la matriz inversa por Gauss-Jordan?

Se forma la matriz ampliada (A \mid I) colocando la identidad a la derecha. Mediante operaciones elementales por filas (intercambio, multiplicar por escalar no nulo, sumar múltiplo de otra fila) se transforma la parte izquierda en la identidad. La parte derecha resultante es la matriz inversa A^{-1}.

¿Para qué sirve la matriz inversa en selectividad PAU?

Aparece sobre todo en **ecuaciones matriciales** del tipo AX = B donde se despeja X = A^{-1}B. También en cambios de base, transformaciones lineales, y en algunos casos en sistemas de ecuaciones lineales escritos en forma matricial. Es pregunta habitual en el bloque de álgebra de la PAU de Matemáticas II.

¿Cuál es la diferencia entre matriz adjunta e inversa?

La **matriz adjunta** \text{adj}(A) es la matriz de cofactores. La **matriz inversa** A^{-1} se obtiene transponiendo la adjunta y dividiendo por el determinante: A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^t. La adjunta es un paso intermedio en el cálculo de la inversa por el método de los cofactores.

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Matrices inversas

0 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son matrices inversas en selectividad PAU?

La matriz inversa

A^{-1}

de una matriz cuadrada

A

es aquella que cumple

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I

, donde

I

es la matriz identidad. En la PAU de Matemáticas II aparece en casi todas las comunidades autónomas como parte del bloque de álgebra, normalmente integrada en problemas de ecuaciones matriciales del tipo

AX = B

donde hay que despejar

X = A^{-1}B

.

Para que una matriz tenga inversa debe cumplir dos condiciones: ser cuadrada (de orden

n \times n

) y tener determinante distinto de cero (matriz no singular o regular). El cálculo se realiza típicamente por dos métodos: la fórmula

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^t

, que requiere calcular la matriz de cofactores y transponerla, o el método de Gauss-Jordan, que escalona la matriz ampliada

(A \mid I)

hasta obtener

(I \mid A^{-1})

.

El corrector valora especialmente la justificación del cálculo: comprobar antes que

\det(A) \neq 0

, indicar el método elegido y verificar el resultado multiplicando

A \cdot A^{-1}

para comprobar que da la identidad.

Fórmulas de matrices inversas en PAU 📋

Inversa por el método de adjuntos

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^t

Método general — útil sobre todo para matrices

2 \times 2

3 \times 3

. Requiere calcular cofactores, formar la adjunta y trasponerla.

Inversa de matriz

2 \times 2

(atajo)

\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}

Atajo directo para

2 \times 2

: intercambia diagonal principal, niega antidiagonal, divide por

ad - bc

. Ahorra ~5 minutos en examen.

Propiedad fundamental

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I

Definición de inversa. Úsala SIEMPRE al final para verificar el cálculo — el corrector valora la verificación.

Determinante de la inversa

\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}

Útil cuando el ejercicio pide solo el determinante de

A^{-1}

sin pedir calcular la matriz entera. Ahorra todo el cálculo.

Inversa del producto (orden invertido)

(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}

OJO al orden: se invierten las posiciones. Aparece en problemas que combinan varias matrices o en demostraciones teóricas.

Cómo resolver matrices inversas paso a paso 📐

1
Comprueba que la matriz es cuadrada y calcula su determinante
Verifica que $A$ sea de orden $n \times n$ . Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa. Calcula $\det(A)$ por desarrollo de adjuntos o por propiedades (filas/columnas proporcionales, triangulación).
2
Si $\det(A) = 0$ → no existe inversa
Indica explícitamente que la matriz es singular y por tanto no invertible. Detener aquí — no continuar con el cálculo. El corrector espera esta justificación.
3
Si $\det(A) \neq 0$ → elige método
Para matrices $2 \times 2$ o $3 \times 3$ , el método de adjuntos suele ser más rápido. Para órdenes superiores o cuando ya estás trabajando con Gauss en otro apartado, prefiere Gauss-Jordan.
4
Método de adjuntos
Calcula la matriz de cofactores $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ , donde $M_{ij}$ es el menor complementario. Construye la matriz adjunta $\text{adj}(A)$ y trasponla. Divide cada elemento por $\det(A)$ : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^t$ .
5
Método de Gauss-Jordan
Forma la matriz ampliada $(A \mid I)$ . Aplica operaciones elementales por filas hasta convertir $A$ en la identidad. La parte derecha queda como $A^{-1}$ . Permite cálculo mecánico y es menos propenso a errores de signo.
6
Verifica multiplicando $A \cdot A^{-1}$
Comprueba que el producto da la matriz identidad $I$ . Es una verificación obligatoria — si no sale $I$ , hay error en algún paso. El corrector valora esta verificación con puntos extra en algunas comunidades.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para matrices inversas? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de empezar, calcula el determinante. Si $\det(A) = 0$ justifica que no existe inversa y termina — ese apartado vale ~30% sin gastar más tiempo.
✓
Para matrices $2 \times 2$ , usa la fórmula directa (atajo). Es 10 veces más rápido que Gauss-Jordan y los correctores la aceptan sin problema.
✓
Si la matriz $3 \times 3$ tiene números grandes o feos, prefiere Gauss-Jordan: es mecánico y menos propenso a errores aritméticos que los cofactores con signo.
✓
Al final **verifica con $A \cdot A^{-1} = I$ ** — los correctores valoran esta verificación con hasta 0,25 puntos extra en algunas comunidades (Andalucía, Madrid).
✓
En ecuaciones matriciales $AX = B$ no inviertas $B$ por error: la solución es $X = A^{-1}B$ premultiplicando, NUNCA $X = BA^{-1}$ .

Errores frecuentes al resolver matrices inversas que penalizan el corrector ⚠

×
Olvidar comprobar $\det(A) \neq 0$ antes de calcular (puede restar hasta el 30% del apartado).
×
Confundir la matriz adjunta $\text{adj}(A)$ con la traspuesta de cofactores — el orden traspuesta-después es crítico.
×
Calcular cofactores con signos erróneos al olvidar el factor $(-1)^{i+j}$ .
×
En ecuaciones matriciales $AX = B$ , multiplicar por la inversa por el lado equivocado: la solución correcta es $X = A^{-1}B$ (premultiplicar), no $X = BA^{-1}$ .
×
No verificar el resultado con $A \cdot A^{-1} = I$ .

Preguntas frecuentes sobre matrices inversas en PAU 💬

¿Cuándo existe la matriz inversa?: Una matriz tiene inversa si y solo si es cuadrada y su determinante es distinto de cero. En ese caso se dice que la matriz es regular o no singular. Si el determinante es cero, la matriz es singular y no admite inversa.
¿Cómo se calcula la matriz inversa por Gauss-Jordan?: Se forma la matriz ampliada $(A \mid I)$ colocando la identidad a la derecha. Mediante operaciones elementales por filas (intercambio, multiplicar por escalar no nulo, sumar múltiplo de otra fila) se transforma la parte izquierda en la identidad. La parte derecha resultante es la matriz inversa $A^{-1}$ .
¿Para qué sirve la matriz inversa en selectividad PAU?: Aparece sobre todo en ecuaciones matriciales del tipo $AX = B$ donde se despeja $X = A^{-1}B$ . También en cambios de base, transformaciones lineales, y en algunos casos en sistemas de ecuaciones lineales escritos en forma matricial. Es pregunta habitual en el bloque de álgebra de la PAU de Matemáticas II.
¿Cuál es la diferencia entre matriz adjunta e inversa?: La matriz adjunta $\text{adj}(A)$ es la matriz de cofactores. La matriz inversa $A^{-1}$ se obtiene transponiendo la adjunta y dividiendo por el determinante: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^t$ . La adjunta es un paso intermedio en el cálculo de la inversa por el método de los cofactores.