¿Por qué el producto de matrices no es conmutativo?

Porque la definición (AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj} depende del orden: en AB se multiplican filas de A por columnas de B, y en BA filas de B por columnas de A. Pueden dar resultados distintos, e incluso AB puede existir y BA no si las dimensiones no encajan al invertir. Solo en casos especiales (matrices diagonales del mismo orden, A con su inversa, A con la identidad) se cumple AB = BA.

¿Cómo se calcula la potencia $n$-ésima de una matriz?

Calcula A^2, A^3, A^4 explícitamente y observa el patrón en cada componente. Conjetura una fórmula para A^n y demuéstrala por **inducción** sobre n: caso base n=1 trivial, paso inductivo A^{n+1} = A^n \cdot A usando la hipótesis. En CCAAs donde se estudia diagonalización, también vale A^n = P D^n P^{-1} si la matriz es diagonalizable.

¿Cuándo dos matrices se pueden multiplicar?

Para que el producto A \cdot B esté definido, el número de **columnas** de A debe coincidir con el número de **filas** de B. Si A es m \times n y B es n \times p, entonces AB existe y es de orden m \times p. El producto BA puede no existir aunque AB sí: por ejemplo, si A es 2 \times 3 y B es 3 \times 2, AB es 2 \times 2 pero BA es 3 \times 3 — son matrices distintas.

¿Qué es la matriz traspuesta y qué propiedades tiene en PAU?

La traspuesta A^t se obtiene intercambiando filas por columnas: el elemento en posición (i,j) de A pasa a la posición (j,i) en A^t. Propiedades clave: (A^t)^t = A, (A+B)^t = A^t + B^t, (\lambda A)^t = \lambda A^t y la más relevante para PAU (AB)^t = B^t A^t — con orden invertido. Aparece sobre todo en País Vasco y en problemas de matrices simétricas (A^t = A) o antisimétricas (A^t = -A).

Operaciones con matrices

64 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué son operaciones con matrices en selectividad PAU?

Las operaciones con matrices son la base del bloque de álgebra de la PAU de Matemáticas II. Una matriz

A

de orden

m \times n

es una tabla de

m

filas y

n

columnas de números reales, y las operaciones imprescindibles son suma, producto por escalar, producto de matrices, transposición y potencias. La suma y el producto por escalar son operaciones componente a componente y solo exigen que las matrices tengan el mismo orden.

El producto de matrices es la operación más conflictiva en examen:

A \cdot B

solo existe si el número de columnas de

A

coincide con el de filas de

B

, y el resultado es de orden (filas de

A

)

\times

(columnas de

B

). Crucialmente, el producto NO es conmutativo:

AB \neq BA

en general — incluso puede ocurrir que

AB

exista y

BA

no. La transposición

A^t

intercambia filas por columnas y cumple

(AB)^t = B^t A^t

(atención al orden invertido). Las potencias

A^n

solo se definen para matrices cuadradas y a menudo se piden calcular para

n

genérico induciendo un patrón a partir de

A^2

A^3

A^4

.

El corrector PAU valora la indicación explícita de las dimensiones antes de operar y la justificación cuando el producto no es posible. Errores típicos: invertir el orden del producto, sumar matrices de orden distinto, o aplicar identidades válidas en números (como

(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

) que en matrices NO son ciertas porque el producto no conmuta.

Fórmulas de operaciones con matrices en PAU 📋

Suma de matrices (mismo orden)

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Solo se pueden sumar matrices del mismo orden

m \times n

. Componente a componente. Es conmutativa y asociativa.

Producto de matrices

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}

Producto fila por columna. Solo existe si

A

m \times n

B

n \times p

; el resultado es

m \times p

. No conmutativo:

AB \neq BA

en general.

Traspuesta del producto

(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t

OJO al orden invertido. Aparece en demostraciones cortas y en País Vasco con frecuencia, donde piden simplificar expresiones con

A^t

Identidades NO válidas en matrices

(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2 \quad ; \quad (A+B)(A-B) \neq A^2 - B^2

Lo correcto es desarrollar:

(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2

. Solo coincide con la fórmula usual si

AB = BA

(caso excepcional).

Potencias de una matriz cuadrada

A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n \text{ veces}}

Solo definidas para matrices cuadradas. Para

A^n

con

n

genérico, calcula

A^2, A^3, A^4

y conjetura un patrón. Demuéstralo por inducción si lo piden.

Cómo resolver operaciones con matrices paso a paso 📐

1
Comprueba las dimensiones antes de operar
Para sumar: orden idéntico. Para multiplicar $A \cdot B$ : columnas de $A$ = filas de $B$ . Escribe las dimensiones a un lado del cálculo — el corrector valora esta verificación previa y evita errores.
2
Aplica la operación componente a componente o fila por columna
Suma y producto por escalar: directos por posición. Producto: cada elemento $(AB)_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$ .
3
Para potencias $A^n$ , calcula $A^2, A^3, A^4$ y busca patrón
Si la matriz es triangular, simétrica o tiene estructura especial (idempotente $A^2 = A$ , nilpotente $A^k = 0$ ), el patrón aparece pronto. Escribe la conjetura para $A^n$ y demuéstrala por inducción.
4
Para traspuestas, intercambia filas y columnas
El elemento $a_{ij}$ pasa a la posición $(j, i)$ . Si la matriz es $m \times n$ , la traspuesta es $n \times m$ . Recuerda $(AB)^t = B^t A^t$ y $(A^t)^t = A$ .
5
Simplifica con cuidado al combinar operaciones
Cuando aparezcan expresiones como $A \cdot B + B \cdot A$ o $(A+B)^2$ , NO uses identidades de números reales. Desarrolla término a término respetando el orden del producto.
6
Verifica con un caso pequeño si dudas
Si la expresión final parece sospechosa, prueba con dos matrices $2 \times 2$ concretas. Si el resultado no se cumple para esos valores, hay error en el desarrollo simbólico.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para operaciones con matrices? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
Antes de multiplicar $A \cdot B$ , escribe las dimensiones como $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$ . Si la $n$ central no coincide, el producto NO existe y se anota directamente — vale puntos sin cálculo.
✓
En el producto, lleva la cuenta fila por fila: termina toda la fila $i$ del resultado antes de pasar a la fila $i+1$ . Reduce errores de columnas mal alineadas.
✓
Para potencias $A^n$ , si el patrón no aparece en $A^2$ y $A^3$ , sospecha que la matriz es diagonalizable: en CCAAs donde se da diagonalización, $A^n = P D^n P^{-1}$ es más rápido.
✓
Identidades tipo $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ son TRAMPA: solo valen si $AB = BA$ . Desarrolla siempre $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ y simplifica si el enunciado dice que conmutan.
✓
Si te piden $A^{100}$ , busca primero si $A^k = I$ para algún $k$ pequeño (matriz periódica): entonces $A^{100} = A^{100 \bmod k}$ y se reduce a una potencia trivial.

Errores frecuentes al resolver operaciones con matrices que penalizan el corrector ⚠

×
Invertir el orden del producto: escribir $BA$ en lugar de $AB$ asumiendo conmutatividad (penaliza hasta el 50% del apartado).
×
Sumar matrices de órdenes distintos sin detectar la incompatibilidad — basta indicar que no se pueden sumar.
×
Aplicar identidades válidas en $\mathbb{R}$ pero falsas en matrices: $(A+B)^2$ , $(A-B)(A+B)$ , $A^2 - B^2$ , etc.
×
En la traspuesta del producto, escribir $(AB)^t = A^t B^t$ en lugar del orden invertido $B^t A^t$ .
×
En potencias $A^n$ , no demostrar el patrón conjeturado por inducción (la PAU exige justificación, no solo intuición).

Preguntas frecuentes sobre operaciones con matrices en PAU 💬

¿Por qué el producto de matrices no es conmutativo?: Porque la definición $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$ depende del orden: en $AB$ se multiplican filas de $A$ por columnas de $B$ , y en $BA$ filas de $B$ por columnas de $A$ . Pueden dar resultados distintos, e incluso $AB$ puede existir y $BA$ no si las dimensiones no encajan al invertir. Solo en casos especiales (matrices diagonales del mismo orden, $A$ con su inversa, $A$ con la identidad) se cumple $AB = BA$ .
¿Cómo se calcula la potencia $n$-ésima de una matriz?: Calcula $A^2$ , $A^3$ , $A^4$ explícitamente y observa el patrón en cada componente. Conjetura una fórmula para $A^n$ y demuéstrala por inducción sobre $n$ : caso base $n=1$ trivial, paso inductivo $A^{n+1} = A^n \cdot A$ usando la hipótesis. En CCAAs donde se estudia diagonalización, también vale $A^n = P D^n P^{-1}$ si la matriz es diagonalizable.
¿Cuándo dos matrices se pueden multiplicar?: Para que el producto $A \cdot B$ esté definido, el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$ . Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$ , entonces $AB$ existe y es de orden $m \times p$ . El producto $BA$ puede no existir aunque $AB$ sí: por ejemplo, si $A$ es $2 \times 3$ y $B$ es $3 \times 2$ , $AB$ es $2 \times 2$ pero $BA$ es $3 \times 3$ — son matrices distintas.
¿Qué es la matriz traspuesta y qué propiedades tiene en PAU?: La traspuesta $A^t$ se obtiene intercambiando filas por columnas: el elemento en posición $(i,j)$ de $A$ pasa a la posición $(j,i)$ en $A^t$ . Propiedades clave: $(A^t)^t = A$ , $(A+B)^t = A^t + B^t$ , $(\lambda A)^t = \lambda A^t$ y la más relevante para PAU $(AB)^t = B^t A^t$ — con orden invertido. Aparece sobre todo en País Vasco y en problemas de matrices simétricas ( $A^t = A$ ) o antisimétricas ( $A^t = -A$ ).

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