Dada la función $f(x)=x\,e^{-ax^2}$, $a\in\mathbb{R}$.
a) (1 pto) Determina los valores de $a\in\mathbb{R}$ para que $f$ sea continua en $\mathbb{R}$ y tenga la asíntota horizontal $y=0$.
b) (1 pto) Para $a=\tfrac{1}{2}$, calcula el área encerrada por la gráfica de $f(x)$ entre el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=1$.

Para la función $f(x)=\dfrac{2x^3+ax^2+bx+3}{-x^3+4x^2-5x+2}$, $a,b\in\mathbb{R}$, calcula los valores de $a,b\in\mathbb{R}$ para que $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=L\in\mathbb{R}$ y determina el valor de dicho límite.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x)=3x+2x^2$ y $g(x)=x^2+4x+2$.

Para $f(x)=\dfrac{x^2+x}{3-x^2}$:
a) (1,25 pto) Estudia la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.
b) (0,75 pto) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x=1$.

Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix}1 & k \\ -1 & k+1\end{pmatrix}$$:
a) (1 pto) Determina el valor de $k\in\mathbb{R}$ para que se verifique $A^2=3I$, donde $I$ es la identidad de orden 2.
b) (1 pto) Calcula, para $k=0$, la matriz $B^n$ con $B=2A-I$, $n\in\mathbb{N}$.

Dadas $$A=\begin{pmatrix}1-m & -1 \\ 2 & 2m \\ m-1 & 1\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$:
a) (1 pto) Estudia, según los valores de $m\in\mathbb{R}$, el rango de la matriz $P=AB^T+C$, donde $B^T$ es la traspuesta de $B$.
b) (1 pto) Para $m=1$, calcula la inversa de la matriz $P$ del apartado anterior.

Dado el sistema $$\begin{cases}x+a y+z=0\\ x+y+a^2 z=0\\ x+y+2a z=0\end{cases}$$.
a) (1 pto) Discute según los valores de $a\in\mathbb{R}$ qué tipo de sistema es (SCD, SCI o SI).
b) (1 pto) Resuelve el sistema para $a=0$.

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1,1,1)$, $B(-2,1,0)$ y $C(0,1,3)$, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escribe todas las soluciones posibles.

En una academia de artes escénicas se imparten clases de danza y teatro. De danza hay modalidad de danza clásica y cabaret. Un 17% practica clásica, un 45% cabaret y un 5% ambas modalidades. Si elegimos un individuo al azar:
a) (1 pto) Calcula la probabilidad de que practique algún tipo de danza.
b) (1 pto) Calcula la probabilidad de que practique solamente teatro.

De los huevos producidos diariamente en una granja, debe desecharse el 20% por no ser aptos. Se seleccionan 5 huevos de manera aleatoria e independiente:
a) (1 pto) Calcula la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1).
b.1) (0,5 pto) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos o exactamente 3? Obtén estas probabilidades.
b.2) (0,5 pto) ¿Cómo razonarías la respuesta a la pregunta anterior sin hacer uso de la calculadora?