Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

Se quiere calcular un número de tres cifras con los siguientes datos:

i) La suma de sus tres cifras es 9.
ii) Si permutamos la cifra de las centenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial menos 99.
iii) Si permutamos la cifra de las decenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial más 36.

a) [1,5 p.] Denotando por $x$ la cifra de las centenas, por $y$ la de las decenas y por $z$ la de las unidades, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente la información dada en i), ii) y iii).

b) [1 p.] Calcule el número en cuestión.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es 2-nilpotente si cumple que $A^{2}=0$.

a) [0,75 p.] Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).

b) [0,75 p.] Compruebe que la matriz $$A=\begin{pmatrix} 3 & -9\\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ es 2-nilpotente.

c) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ y $b$ la matriz $$A=\begin{pmatrix} 6 & a\\ 4 & b \end{pmatrix}$$ es 2-nilpotente.

Considere la función $f(x)=x\,e^{-x}$, definida para todo valor de $x\in\mathbb{R}$.

a) [0,75 p.] Calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

b) [0,75 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$ y sus extremos relativos (máximos y/o mínimos).

c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

Considere la función $f(x)=\dfrac{\mathrm{sen}\,x}{1+\cos^{2}x}$, definida para todo valor de $x\in\mathbb{R}$, donde $\cos^{2}x=(\cos x)^{2}$.

a) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

b) [0,75 p.] Calcule la integral definida $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}f(x)\,dx$.

c) [0,75 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(\pi,1)$.

Los puntos $A=(6,-4,4)$ y $B=(12,-1,1)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice $C$ es la proyección ortogonal del vértice $A$ sobre la recta

$$r:\left\{\begin{array}{l} x-2y=5\\ x+2z=5 \end{array}\right.$$

a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del vértice $C$.

b) [0,5 p.] Determine si el triángulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.

c) [0,5 p.] Calcule el área del triángulo $\widehat{ABC}$.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi:2x+ay-2z=-4$ y la recta $r$ dada por

$r:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-5}{-2}.$

a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.

Se sabe que cuando $a=1$ la recta $r$ corta al plano $\pi$. Para ese valor de $a$:

b) [0,75 p.] Calcule el punto de corte de la recta $r$ y el plano $\pi$.

c) [0,5 p.] Calcule el ángulo que forman.

En un cine hay 3 salas y un total de 250 espectadores repartidos de la siguiente manera: 100 espectadores en la sala $A$, 50 en la sala $B$ y 100 en la sala $C$. Se sabe que la película de la sala $A$ gusta al 80 % de los espectadores, la de la sala $B$ al 20 % de los espectadores y la de la sala $C$ al 60 % de los espectadores. A la salida de las tres películas se elige un espectador al azar. Calcule:

a) [0,25 p.] La probabilidad de que el espectador haya estado en la sala $C$.

b) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película, sabiendo que ha estado en la sala $C$.

c) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película y haya estado en la sala $C$.

d) [0,75 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película.

e) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la película o haya estado en la sala $C$.

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades y 2 decimales para los porcentajes.

El peso de los recién nacidos en la Región de Murcia sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ desconocidas. Se sabe que el 67 % de los recién nacidos pesan menos de 3,464 kg y que el 1,5 % de los recién nacidos pesan más de 4,502 kg.

a) [0,5 p.] ¿Cuál es el porcentaje de recién nacidos cuyo peso está comprendido entre 3,464 y 4,502 kg?

b) [1 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.

c) [1 p.] Calcule el porcentaje de recién nacidos que pesan menos de 2,33 kg.