Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + a y - z = 0 \\ 2x + y + a z = 0 \\ x + 5 y - a z = a + 1 \end{cases}$$

a) [0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.

b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

c) [0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Considere la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$.

a) [1 p.] Si se denota por $\mathrm{tr}(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $\lvert A \rvert$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2 = \mathrm{tr}(A)\, A - \lvert A \rvert\, I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

b) [0,5 p.] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).

c) [1 p.] Para $a = -3$, resuelva la ecuación matricial $A X - A^t = A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

Dada la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$, se pide:

a) [1,5 p.] Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) [1 p.] Calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

a) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int x\,\sin(x^2)\,dx$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).

b) [1 p.] Determine el menor valor de $a > 0$ para el cual se cumple $\displaystyle\int_{0}^{a} x\,\sin(x^2)\,dx = 1$.

Considere las rectas de ecuaciones $$r : \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 1}{-1} \quad\text{y}\quad s : \begin{cases} x - 2 y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}$$

a) [0,75 p.] Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.

b) [1 p.] Determine el ángulo que forman las dos rectas.

c) [0,75 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.

Los puntos $A = (2, 0, 0)$ y $B = (-1, 12, 4)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice $C$ se encuentra en la recta $r$ dada por $$r : \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}$$

a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$ sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$.

b) [1 p.] Determine si el triángulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en $A$ y calcule su área.

Una urna contiene cinco bolas negras, numeradas del 1 al 5, y siete bolas blancas, numeradas del 1 al 7. Se saca de la urna una bola al azar. Calcule:

a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca.

b) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par.

c) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.

d) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca y esté numerada con un número par.

e) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que está numerada con un número par.

Juan es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Él se defiende diciendo que no es para tanto y que la tutora le tiene manía. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 9 días Juan llega tarde como mucho 2 días, la tutora le sube 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Juan llegue tarde a clase cada día es $0{,}45$, determine:

a) [1 p.] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?