Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - a y + a^{2} z = -1 \\ -a x + a^{2} y - a^{3} z = 2 \end{cases}$$

a) [1 p.] Compruebe que el sistema nunca tiene solución única.

b) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones.

c) [0,5 p.] Si es posible, resuélvalo para el valor de $a = 2$.

Considere la matriz $$A = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$.

a) [1 p.] Calcule las potencias sucesivas $A^{2}$, $A^{3}$, $A^{4}$, $A^{5}$ y $A^{6}$.

b) [1 p.] Calcule $A^{2020}$.

c) [0,5 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su inversa.

Calcule los siguientes límites:

a) [1,25 p.] $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(3+x) - \ln(3-x)}{2x}$.

b) [1,25 p.] $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\!\big(\sqrt{x+1} - \sqrt{x+2}\,\big)$.

a) [2 p.] Calcule la integral indefinida $\displaystyle \int \ln(1+x^{2})\,dx$.

b) [0,5 p.] Calcule la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln(1+x^{2})\,dx$.

Considere los puntos $P = (5,\,6,\,1)$ y $Q = (-3,\,-2,\,5)$, y la recta $$r:\quad \dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z+1}{4}.$$

a) [1,5 p.] Determine el punto $R$ de la recta $r$ para el cual el área del triángulo $\widehat{PQR}$ es $18\sqrt{2}$ unidades cuadradas. Observación: hay dos puntos $R$ que son solución del apartado a); basta con encontrar uno de ellos.

b) [1 p.] Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ y compruebe que dicha recta corta perpendicularmente a la recta $r$.

Considere las rectas $r$ y $s$ dadas por las siguientes ecuaciones: $$r:\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ y - 5z = 3 \end{cases} \quad\text{y}\quad s:\;\dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 5}{0}.$$

a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.

b) [1,25 p.] En caso de que las rectas se corten, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que las rectas se crucen, determine el plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$.

El peso de los recién nacidos, medido en kilogramos (kg), sigue una distribución normal de media $\mu = 2{,}8$ kg y desviación típica $\sigma$. Se sabe que solo el $20{,}05\%$ de ellos pesa más de $3$ kg.

a) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de $2{,}6$ kg?

b) [1 p.] Calcule la desviación típica de esta distribución normal.

c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de $2{,}9$ kg?

IMPORTANTE: Trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal.

Dos urnas $A$ y $B$ contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna $A$ contiene $3$ bolas verdes, $4$ negras y $3$ rojas, y la urna $B$ contiene $6$ bolas verdes y $4$ bolas negras. Además, se tiene un dado que tiene $2$ caras marcadas con la letra $A$ y $4$ caras marcadas con la letra $B$. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que indica el dado.

a) [0,75 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea verde?

b) [0,75 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?

c) [1 p.] Si bola extraída es verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna $B$?