Exámenes›Navarra›Matemáticas II›Ordinaria 2023›Solución

Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2023

Navarra8 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

2,5 pts

Álgebra

Discusión y resolución de sistema con parámetro

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + (2a - 1)y + (\sqrt{2} - 2)z = 2 \\ -ax + ay + 2a^2 z = \sqrt{2} \end{cases}

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Pregunta 2

2,5 pts

Álgebra

Rango máximo del producto de matrices

Calcula los valores de

t

para los que el rango de la matriz

A\cdot B

es máximo, siendo

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t-1 \\ 1 & t & 1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad B = \begin{pmatrix} t+1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t+1 \\ t+1 & t+1 & -t-1 \end{pmatrix}.

Pregunta 3

2,5 pts

Geometría

Recta perpendicular común a dos rectas

Calcula la ecuación continua de la recta perpendicular a

r

s

que corta a ambas, siendo

r \equiv \begin{cases} x - y - z + 2 = 0 \\ x - 3y + 3z - 8 = 0 \end{cases} \quad\text{y}\quad s\equiv \frac{x-2}{3} = \frac{y+5}{-4} = \frac{z-0}{-2}.

Pregunta 4

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Geometría

Distancia mínima de un punto a una recta y puntos a distancia dada

Sean

P(1, 5, -1)

y la recta

r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+4}{2}

.
a) Calcula el punto

Q\in r

tal que la distancia de

P

Q

sea mínima. (1,25 puntos)
b) Halla los puntos

Q_1

Q_2

pertenecientes a

r

tales que

d(P, Q_1) = d(P, Q_2) = 3\sqrt{2}

. (1,25 puntos)

Pregunta 5

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Análisis

Integrales indefinidas

Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)

\displaystyle\int \frac{2x-5}{x^2 + x - 2}\,dx

(1,25 puntos)
b)

\displaystyle\int x\ln x\,dx

(1,25 puntos)

Pregunta 6

2,5 pts

Análisis

Continuidad de una función definida a trozos

Estudia la continuidad en

\mathbb{R}

de la siguiente función:

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\cos^2(\pi x) - 1}{1 - x} & x < 1 \\[6pt] \ln(x\cdot e^{x+1}) - 2x & x \ge 1 \end{cases}

Pregunta 7

2,5 puntos(0,5 + 2)

Análisis

Teorema de los valores intermedios (Bolzano)

Se considera la función

f(x) = (x+1)\sin(\pi x)

.
a) Demuestra que es continua en

\mathbb{R}

. (0,5 puntos)
b) Comprueba que existe un valor

\alpha \in (0, 1)

tal que

f(\alpha) = \tfrac{3}{4}

. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (2 puntos)

Pregunta 8

2,5 pts

Análisis

Área entre dos curvas

Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f(x) = 2 - 2x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = x^4 - x^2.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

Solución gratuitaVer más exámenes de Matemáticas II

Compartido0 veces

Recursos para tu selectividad PAU

selectividad.academy

Academia líder en selectividad PAU online

Guía definitiva PAU 2026

Todo sobre la PAU: fechas, estructura y consejos

Ver recurso

Calculadora nota PAU — Gratis

Calcula tu nota de admisión en 30 segundos

Ver recurso

Temario selectividad gratis

Qué entra en cada asignatura y dónde ha caído

Ver recurso

Nuestras asignaturas

Clases con profesor especialista en la PAU

Ver recurso

Selectividad Academy

Aprueba la PAU con nota

Aprende los trucos que no vienen en los libros · Profesores especialistas en la PAU · Damos clase desde cero · Material incluido

Reservar clase gratis →