Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:
$$\begin{cases} ax + y - 2z = 1 \\ 3ax + a^2 y - 2a^2 z = 3 \\ -ax - y + (a^2 - 1)z = a + \sqrt{3} - 1 \end{cases}$$
Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula el valor de $a$ para que la siguiente matriz no sea regular:
$$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & a+3 \\ -3 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.$$

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(-3, -2, 3)$ y que corta a las rectas $r$ y $s$, siendo
$$r\equiv\begin{cases} x + y - z - 1 = 0 \\ x - y + 2z + 1 = 0 \end{cases}\quad\text{y}\quad s\equiv\frac{x-3}{-1} = \frac{y+5}{2} = \frac{z+3}{1}.$$

Halla el plano paralelo a $r$ y $s$ que se encuentra a $3u$ de $r$ y $6u$ de $s$, siendo
$$r\equiv\begin{cases} 2x - y + 2z + 7 = 0 \\ 5x + 2y + 2z - 2 = 0\end{cases}\quad\text{y}\quad s\equiv\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{0} = \frac{z-5}{-1}.$$

Calcula las derivadas de las siguientes funciones y sus valores en el punto $x=0$:
a) $f(x) = \ln\bigl[\cos(\pi x)\cdot e^{x^2 + 2x}\bigr]$ (1,25 puntos)
b) $g(x) = \arctan\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}$ (1,25 puntos)

Se considera la función $f(x) = \dfrac{\cos\!\left[\frac{\pi}{2}(x-1)\right]}{x^2 - 6x + 10}$.
a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[1, 4]$. (0,75 puntos)
b) Comprueba que existen dos valores $\alpha$ y $\beta$ en el intervalo $(1, 4)$ tales que $f(\alpha) = -\tfrac{1}{2} = f(\beta)$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,75 puntos)

Se considera la función $f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{2} - \sin\dfrac{\pi x}{6}}$.
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[7, 11]$ y derivable en $(7, 11)$. (1,25 puntos)
b) Comprueba que existe un valor $\alpha\in(7,11)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)

La curva de la imagen corresponde a la función $f(x) = x\cdot\sin x$. Tal y como se intuye, la curva corta el eje $OX$ en infinitos puntos. Encuentra los puntos $P$ y $Q$, y, a continuación, calcula el área de la región del plano sombreada.
[Se adjunta gráfica en el PDF original: la región sombreada está formada por el lóbulo positivo entre $0$ y $P$ y el lóbulo negativo entre $P$ y $Q$, con $P$ y $Q$ los dos primeros ceros positivos.]