¿Qué es el teorema de Rouché-Frobenius y cómo se aplica?

El teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema lineal AX = B es **compatible** si y solo si \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B), donde (A|B) es la matriz ampliada. Además, si los rangos coinciden y son iguales al **número de incógnitas n**, el sistema es **compatible determinado (SCD)** con solución única; si los rangos coinciden pero son **menores que n**, es **compatible indeterminado (SCI)** con n - \text{rg}(A) parámetros libres; si \text{rg}(A) < \text{rg}(A|B), el sistema es **incompatible (SI)** y no tiene solución. Es la herramienta clave para discutir cualquier sistema, especialmente cuando depende de un parámetro.

¿Cómo se discute un sistema de ecuaciones con un parámetro?

Sigue cuatro pasos: (1) Escribe el sistema en forma matricial AX = B y forma la ampliada (A|B). (2) Calcula \det(A) en función del parámetro y factorízalo para hallar los **valores críticos** donde se anula. (3) Para los valores del parámetro **distintos** de los críticos, \det(A) \neq 0 implica SCD directamente. (4) Para cada **valor crítico**, sustituye y calcula \text{rg}(A) y \text{rg}(A|B) por menores; aplica Rouché-Frobenius para clasificar como SCI o SI. Resume con una tabla final que cubra todos los casos del parámetro.

¿Qué significa "discutir" un sistema según un parámetro?

"Discutir" significa **clasificar el sistema** (como SCD, SCI o SI) para **cada valor posible** del parámetro. Como los coeficientes dependen del parámetro, el comportamiento del sistema cambia: para algunos valores tendrá solución única, para otros infinitas soluciones, y para otros ninguna. La discusión consiste en identificar **qué valores del parámetro corresponden a cada caso**. Una vez discutido, se pide habitualmente resolverlo en uno o varios casos concretos (Gauss o Cramer según corresponda). En PAU es el tipo de ejercicio más frecuente del bloque de álgebra.

¿Por qué cuando $\det(A) = 0$ no se puede aplicar Cramer y hay que estudiar rangos?

La regla de Cramer divide por \det(A) para calcular cada incógnita (x_i = \det(A_i)/\det(A)). Si \det(A) = 0, la división no está definida, así que Cramer no es aplicable. Pero \det(A) = 0 no implica directamente que el sistema sea SI ni SCI: significa que la matriz A tiene **rango menor que el máximo** y hay que **estudiar los rangos** para decidir. Si \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) el sistema es SCI; si \text{rg}(A) < \text{rg}(A|B) es SI. Por eso en sistemas cuadrados con \det(A) = 0 se cambia a método de Gauss o se calculan los rangos por menores y se aplica Rouché-Frobenius.

Discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius)

Q: ¿Cómo se discute un sistema de ecuaciones con un parámetro?

Sigue cuatro pasos: (1) Escribe el sistema en forma matricial AX = B y forma la ampliada (A|B). (2) Calcula \det(A) en función del parámetro y factorízalo para hallar los **valores críticos** donde se anula. (3) Para los valores del parámetro **distintos** de los críticos, \det(A) \neq 0 implica SCD directamente. (4) Para cada **valor crítico**, sustituye y calcula \text{rg}(A) y \text{rg}(A|B) por menores; aplica Rouché-Frobenius para clasificar como SCI o SI. Resume con una tabla final que cubra todos los casos del parámetro.

Q: ¿Qué significa "discutir" un sistema según un parámetro?

"Discutir" significa **clasificar el sistema** (como SCD, SCI o SI) para **cada valor posible** del parámetro. Como los coeficientes dependen del parámetro, el comportamiento del sistema cambia: para algunos valores tendrá solución única, para otros infinitas soluciones, y para otros ninguna. La discusión consiste en identificar **qué valores del parámetro corresponden a cada caso**. Una vez discutido, se pide habitualmente resolverlo en uno o varios casos concretos (Gauss o Cramer según corresponda). En PAU es el tipo de ejercicio más frecuente del bloque de álgebra.

Q: ¿Por qué cuando $\det(A) = 0$ no se puede aplicar Cramer y hay que estudiar rangos?

La regla de Cramer divide por \det(A) para calcular cada incógnita (x_i = \det(A_i)/\det(A)). Si \det(A) = 0, la división no está definida, así que Cramer no es aplicable. Pero \det(A) = 0 no implica directamente que el sistema sea SI ni SCI: significa que la matriz A tiene **rango menor que el máximo** y hay que **estudiar los rangos** para decidir. Si \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) el sistema es SCI; si \text{rg}(A) < \text{rg}(A|B) es SI. Por eso en sistemas cuadrados con \det(A) = 0 se cambia a método de Gauss o se calculan los rangos por menores y se aplica Rouché-Frobenius.

104 problemas de exámenes oficiales PAU en Matemáticas II

¿Qué es la discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius) en selectividad PAU?

La discusión de sistemas con parámetros es el ejercicio más temido y más frecuente del bloque de álgebra en la PAU de Matemáticas II. Aparece en TODAS las comunidades como pregunta de 2,5 puntos sobre 10 y reúne 137 problemas históricos en la base de datos de selectividad.academy. El enunciado tipo presenta un sistema

AX = B

donde alguno de los coeficientes depende de un parámetro (

\lambda

m

a

k

\alpha

\ldots) y pide clasificar el sistema según los valores del parámetro y resolverlo en uno o varios casos concretos.

La herramienta fundamental es el teorema de Rouché-Frobenius: comparar

\text{rg}(A)

con

\text{rg}(A|B)

y con el número de incógnitas

n

para clasificar el sistema como compatible determinado (SCD), compatible indeterminado (SCI) o incompatible (SI). Cuando el sistema es cuadrado, el primer paso es siempre **calcular

\det(A)

en función del parámetro** y hallar los valores que lo anulan: en esos valores críticos el rango baja y hay que estudiar la ampliada para distinguir SCI de SI; en el resto,

\det(A) \neq 0

implica SCD por Rouché-Frobenius o directamente por Cramer.

El corrector valora especialmente la estructura del razonamiento: separar claramente cada caso, justificar cada conclusión con el teorema, y resolver cuando se pida. Saltarse el análisis de algún caso crítico o confundir SCI con SI suele costar entre el 40% y el 60% del apartado.

Fórmulas de discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius) en PAU 📋

Teorema de Rouché-Frobenius

\begin{cases} \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n & \Rightarrow \text{SCD (solución única)} \\ \text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n & \Rightarrow \text{SCI (}\infty\text{ soluciones)} \\ \text{rg}(A) < \text{rg}(A|B) & \Rightarrow \text{SI (sin solución)} \end{cases}

Pilar de toda la discusión. Aplica SIEMPRE para clasificar el sistema en cada caso del parámetro.

n

es el número de incógnitas;

A

la matriz de coeficientes y

(A|B)

la ampliada.

Determinante con parámetro

\det(A(\lambda)) = 0 \iff \lambda \in \{\lambda_1, \lambda_2, \ldots\}

Primer paso obligatorio en sistemas cuadrados con parámetro. Resuelve la ecuación

\det(A) = 0

para hallar los valores críticos donde el rango puede bajar. Fuera de esos valores,

\det(A) \neq 0

implica directamente SCD.

Grados de libertad (parámetros libres) en SCI

\text{nº parámetros libres} = n - \text{rg}(A)

Cuando el sistema es SCI, las soluciones forman una familia con tantos parámetros libres como esta diferencia. En

\mathbb{R}^3

: 1 parámetro = recta, 2 parámetros = plano.

Sistema homogéneo y solución no trivial

AX = 0 \text{ tiene solución no trivial} \iff \det(A) = 0

En sistemas homogéneos con parámetro, los valores que anulan

\det(A)

son los únicos donde aparecen soluciones distintas de la trivial

X = 0

. Caso clásico en PAU.

Cálculo del rango por menores

\text{rg}(A) = k \iff \exists \text{ menor de orden } k \text{ no nulo y todos los de orden } k+1 \text{ son nulos}

Cuando

\det(A) = 0

en un caso crítico, hay que calcular el rango por menores para distinguir entre SCD, SCI y SI. Busca el mayor menor cuadrado con determinante no nulo.

Interpretación geométrica en

\mathbb{R}^3

\text{SCD = punto}, \quad \text{SCI = recta o plano}, \quad \text{SI = planos sin intersección común}

Útil para Cataluña y otras CCAAs que piden interpretación geométrica. Cada ecuación lineal en 3 variables representa un plano; el conjunto solución es la intersección de esos planos.

Cómo resolver problemas de discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius) paso a paso 📐

1
Escribe el sistema en forma matricial y forma la ampliada $(A|B)$
Identifica $A$ (matriz de coeficientes, con el parámetro), $X$ (vector de incógnitas) y $B$ (términos independientes, puede o no depender del parámetro). Forma la matriz ampliada $(A|B)$ — es la base de toda la discusión.
2
Calcula $\det(A)$ en función del parámetro
Si el sistema es cuadrado, calcula $\det(A(\lambda))$ por adjuntos, Sarrus o propiedades. Factoriza el resultado para identificar los valores que lo anulan: $\det(A) = (\lambda - a)(\lambda - b)\cdots$ . Estos son los valores críticos del parámetro.
3
Caso general: $\det(A) \neq 0$
Para todos los valores del parámetro distintos de los críticos, $\det(A) \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A) = n = \text{rg}(A|B)$ . Por Rouché-Frobenius el sistema es SCD y tiene solución única (calculable por Cramer o Gauss si se pide).
4
Casos críticos: $\det(A) = 0$ , estudia rangos
Para cada valor crítico $\lambda_i$ , sustituye en $A$ y $(A|B)$ . Calcula $\text{rg}(A)$ buscando un menor cuadrado no nulo del mayor orden posible. Después calcula $\text{rg}(A|B)$ orlando ese menor con la columna $B$ . Compara ambos rangos con $n$ .
5
Aplica Rouché-Frobenius en cada caso crítico
Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) < n$ → SCI con $n - \text{rg}(A)$ parámetros libres. Si $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ → SI (sin solución). Justifica explícitamente la clasificación en cada caso citando el teorema.
6
Resuelve cuando se pida (Gauss en SCI, Cramer en SCD)
En SCD usa Cramer (rápido) o Gauss. En SCI parametriza las incógnitas libres con $t, s \in \mathbb{R}$ y despeja las ligadas. En SI indica explícitamente "no hay solución". Presenta el resumen final con los tres (o cuatro) casos claramente separados.

¿Qué trucos usa el corrector PAU para la discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius)? 💡

Atajos y criterios reales que valora el corrector — basado en exámenes oficiales.

✓
**Factoriza siempre $\det(A)$ ** antes de resolver $\det(A) = 0$ : los valores críticos salen como raíces de un polinomio. Aprende a factorizar por Ruffini con raíces evidentes ( $0, 1, -1$ ) — casi siempre hay una raíz simple en PAU.
✓
Cuando $B = 0$ (sistema homogéneo), automáticamente $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B)$ siempre, por lo que NUNCA es SI. La discusión se reduce a SCD (trivial) vs SCI (soluciones no triviales) — basta con estudiar $\det(A)$ .
✓
En el caso crítico, antes de calcular rangos, observa si dos filas o columnas son proporcionales o si una es combinación lineal de otras. Te ahorra calcular menores y te dice el rango de un vistazo.
✓
Estructura la respuesta con un resumen final tipo tabla: "Si $\lambda \neq 1, 2$ → SCD; si $\lambda = 1$ → SCI con 1 parámetro libre; si $\lambda = 2$ → SI". El corrector lo valora positivamente (claridad).
✓
Si te piden interpretación geométrica (Cataluña): SCD = un único punto en $\mathbb{R}^3$ , SCI con 1 parámetro = recta de intersección de planos, SCI con 2 parámetros = plano (dos ecuaciones equivalentes), SI = planos paralelos o sin punto común a los tres.

Errores frecuentes al resolver problemas de discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius) que penalizan el corrector ⚠

×
No calcular $\det(A)$ antes de empezar la discusión: ir directamente a Gauss con parámetro es muy lento y propenso a errores. Determinante primero, siempre.
×
Confundir SCI con SCD cuando $\det(A) = 0$ y la ampliada tiene rango menor que $n$ : el sistema tiene infinitas soluciones, no una sola. Comparar SIEMPRE rangos con $n$ .
×
Confundir SCI con SI cuando $\det(A) = 0$ : la diferencia está en si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B)$ (SCI) o $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ (SI). Sin estudiar la ampliada no se puede decidir.
×
Olvidar algún caso crítico: si $\det(A) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$ hay DOS casos críticos ( $\lambda = 1$ y $\lambda = 2$ ) — analizarlos por separado, no juntos.
×
En SCI, dar una solución particular en vez de la familia parametrizada con $t \in \mathbb{R}$ : el corrector exige la solución general completa, no un ejemplo concreto.

Preguntas frecuentes sobre discusión de sistemas con parámetros (Rouché-Frobenius) en PAU 💬

¿Qué es el teorema de Rouché-Frobenius y cómo se aplica?: El teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema lineal $AX = B$ es compatible si y solo si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B)$ , donde $(A|B)$ es la matriz ampliada. Además, si los rangos coinciden y son iguales al **número de incógnitas $n$ , el sistema es compatible determinado (SCD) con solución única; si los rangos coinciden pero son menores que $n$ , es compatible indeterminado (SCI)** con $n - \text{rg}(A)$ parámetros libres; si $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ , el sistema es incompatible (SI) y no tiene solución. Es la herramienta clave para discutir cualquier sistema, especialmente cuando depende de un parámetro.
¿Cómo se discute un sistema de ecuaciones con un parámetro?: Sigue cuatro pasos: (1) Escribe el sistema en forma matricial $AX = B$ y forma la ampliada $(A|B)$ . (2) Calcula $\det(A)$ en función del parámetro y factorízalo para hallar los valores críticos donde se anula. (3) Para los valores del parámetro distintos de los críticos, $\det(A) \neq 0$ implica SCD directamente. (4) Para cada valor crítico, sustituye y calcula $\text{rg}(A)$ y $\text{rg}(A|B)$ por menores; aplica Rouché-Frobenius para clasificar como SCI o SI. Resume con una tabla final que cubra todos los casos del parámetro.
¿Qué significa "discutir" un sistema según un parámetro?: "Discutir" significa clasificar el sistema (como SCD, SCI o SI) para cada valor posible del parámetro. Como los coeficientes dependen del parámetro, el comportamiento del sistema cambia: para algunos valores tendrá solución única, para otros infinitas soluciones, y para otros ninguna. La discusión consiste en identificar qué valores del parámetro corresponden a cada caso. Una vez discutido, se pide habitualmente resolverlo en uno o varios casos concretos (Gauss o Cramer según corresponda). En PAU es el tipo de ejercicio más frecuente del bloque de álgebra.
¿Por qué cuando $\det(A) = 0$ no se puede aplicar Cramer y hay que estudiar rangos?: La regla de Cramer divide por $\det(A)$ para calcular cada incógnita ( $x_i = \det(A_i)/\det(A)$ ). Si $\det(A) = 0$ , la división no está definida, así que Cramer no es aplicable. Pero $\det(A) = 0$ no implica directamente que el sistema sea SI ni SCI: significa que la matriz $A$ tiene rango menor que el máximo y hay que estudiar los rangos para decidir. Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B)$ el sistema es SCI; si $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ es SI. Por eso en sistemas cuadrados con $\det(A) = 0$ se cambia a método de Gauss o se calculan los rangos por menores y se aplica Rouché-Frobenius.

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