Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Dada la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} 5 - a x^2 & si \;\; x \le 1 \\ \dfrac{6}{ax} & si \;\; x > 1 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R},\; a \neq 0$$

a) (1 punto) Calcule los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua.

b) (1 punto) Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = e$ sea $6\ \text{u}^2$.

Calcule el siguiente límite: $$\lim_{x \to 1}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)^{\frac{1}{(1-x)^2}}.$$

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de 64 m³. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por m², mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por m². Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

Para la siguiente función $$f(x) = \frac{e^{x}}{x^3 - x}$$

a) (1,25 puntos) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.

b) (0,75 puntos) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 2$.

Dada la siguiente matriz: $$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}$$

a) (1 punto) Estudie el rango de la matriz $A = I + P$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de $k \in \mathbb{R}$.

b) (1 punto) Para $k = 1$, calcule la inversa de la matriz $A$ del apartado anterior.

Dadas las siguientes matrices: $$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad C_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

a) (1 punto) Compruebe que la matriz $B$ tiene inversa y calcúlela.

b) (1 punto) Calcule la matriz $X$ que verifica la siguiente ecuación matricial: $I + BX = C_1 C_2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Dado el siguiente sistema: $$\begin{cases} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = 3 \\ 2x - 5y + a z = -2 \end{cases}$$

a) (1 punto) Discuta según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.

b) (1 punto) Resuelva el sistema para $a = 0$.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1, -2, 0)$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $(1, 0, 1)$, $(3, 1, 0)$ y $(2, -1, 1)$. Exprésela como intersección de dos planos.

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.

a) (0,8 puntos) Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar, sea híbrido y presente el software de su motor correcto.

b) (1,2 puntos) Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor.

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva, será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.

a) (0,8 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?

b) (1,2 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas?