Dada $$f(x)=\begin{cases} 5-ax^2 & \text{si } x\le 1 \\ \dfrac{6}{ax} & \text{si } x>1 \end{cases}$$, con $a\in\mathbb{R}$, $a\neq 0$.
a) (1 pto) Calcule los valores de $a\in\mathbb{R}$ para que la función $f$ sea continua en $\mathbb{R}$.
b) (1 pto) Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función $f(x)$, el eje OX y las rectas $x=0$ y $x=e$ sea 6 u².

Calcule el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right)^{1/(1-x)^2}$.

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada, abierto por arriba. La capacidad total debe ser de 64 m³. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 €/m², y el de la base, más resistente, es de 140 €/m². Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

Para $f(x)=\dfrac{e^x}{x^3-x}$:
a) (1,25 pto) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.
b) (0,75 pto) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x=2$.

Dada la matriz $$P=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & -k & -2k\\ 1 & -k & 0\end{pmatrix}$$:
a) (1 pto) Estudie el rango de $A=I+P$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de $k\in\mathbb{R}$.
b) (1 pto) Para $k=1$, calcule la inversa de la matriz $A$ del apartado anterior.

Dadas $$B=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$, $$C_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$, $$C_2=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 0\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$$.
a) (1 pto) Compruebe que $B$ tiene inversa y calcúlela.
b) (1 pto) Calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $I+BX=C_1 C_2$, donde $I$ es identidad de orden 3.

Dado el sistema $$\begin{cases} 3x-y+2z=1 \\ x+4y+z=3 \\ 2x-5y+az=-2 \end{cases}$$:
a) (1 pto) Discuta según los valores de $a\in\mathbb{R}$ qué tipo de sistema es y sus posibles soluciones.
b) (1 pto) Resuelva el sistema para $a=0$.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,-2,0)$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $(1,0,1)$, $(3,1,0)$ y $(2,-1,1)$. Exprésela como intersección de dos planos.

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.
a) (0,8 pto) Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar sea híbrido y presente el software de su motor correcto.
b) (1,2 pto) Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor.

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección.
a) (0,8 pto) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?
b) (1,2 pto) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido?