Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

Dado el sistema $$\begin{cases} x + y = a \\ (2-a)x + 2y = 1 \\ ax = a \end{cases}$$, $a \in \mathbb{R}$.
a) Estudia su compatibilidad segun los valores de $a$. (1.5 puntos)
b) Resuelvelo cuando sea posible. (1 punto)

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} x+1 & x+1 & x-2 \\ x & x & 2-x \\ x & x-1 & x \end{pmatrix}$$, $x \in \mathbb{R}$.
a) Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuando es invertible la matriz. (1.5 puntos)
b) Para $x = 1$, calcula su inversa. (1 punto)

Dada la funcion $f(x) = \dfrac{2x^3+1}{x^2}$.
a) Estudia y calcula su dominio de definicion y sus asintotas. (1.25 puntos)
b) Halla, si existen: maximos y minimos relativos y calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0.75 puntos)
c) Haz un esbozo de su grafica. (0.5 puntos)

Calcula:
a) $\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\text{sen}(x) - xe^x}{x^2 - 2\cos(x) + 2}$. (1.25 puntos)
b) Una primitiva de la funcion $f(x) = x\cos(x) - e^{-x}$ cuya grafica pasa por el punto $(0, 3)$. (1.25 puntos)

Sean $A(2, 1, 3)$ y la recta $r: \dfrac{x+2}{2} = \dfrac{y-1}{0} = \dfrac{z}{3}$. Se pide:
a) La ecuacion del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y al punto $A$. (1 punto)
b) La ecuacion del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a $A$. Se pide: $\pi$. (1 punto)
c) ¿Cual es la posicion relativa entre el plano $\pi$ y el punto $A$? Indica la posicion relativa. (0.5 puntos)

Dados el plano $\pi: x + y - 2z = 0$ y la recta $$r': \begin{cases} x + y + z = 0 \\ z = 1 \end{cases}$$. Sea $P$ un punto de $\pi$ cuya proyeccion ortogonal sobre el plano $\pi$ es $A(0,1,1)$.
a) Calcula las coordenadas de $A'$ y la proyeccion ortogonal de $A$ sobre el plano $\pi$. (1.5 puntos)
b) Calcula la distancia entre $r'$ y $\pi$ usando matematicas. (1 punto)

Se tiene un urnas con tres cajas A, B y E (caja A: 2 bolas blancas y 4 negras; caja B: 5 blancas y 3 negras; caja E: 1 blanca y 4 negras). Se sabe que se elige al azar una caja: A o B o E. Se extrae una bola al azar y resulta blanca. Calcula:
a) La probabilidad de que sea blanca. (1 punto)
b) La probabilidad de que sea blanca y proceda de la caja B. (1 punto)
c) Si la bola es blanca, ¿cual es la probabilidad de que proceda de la caja A? (0.5 puntos)

Se tiene un nuevo con variable aleatoria $X$ que sigue una distribucion normal de media $\mu = 20$ y desviacion tipica $\sigma = 5$. Calcula:
a) La probabilidad de los datos $X \leq 20$. (1.25 puntos)
b) Se hace una revision de los datos y se observa que la probabilidad del 50% se alcanza en el valor $X \leq 20$, y la probabilidad del 75% se alcanza en el valor $X \leq 30$. ¿Cuales son los nuevos media y desviacion tipica? (1.25 puntos)
(Algunos valores: $F(0)=0{,}5$; $F(0{,}6745) = 0{,}75$; $F(0{,}8416) = 0{,}8$; $F(1) = 0{,}8413$; $F(1{,}25) = 0{,}8944$; $F(1{,}375) = 0{,}9154$; $F(1{,}5) = 0{,}9332$; $F(2) = 0{,}9772$.)