Resuelve los siguientes apartados:
a) Considera la función $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Calcular los coeficientes $a,b,c,d$, sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto $P(0,1)$ y su gráfica tiene un punto de inflexión $Q(1,-1)$. Dar la expresión de la función $f(x)$.
b) Resuelve el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+e^{-x}-2}{1-\cos x}$

Considera las siguientes funciones: $y=3x-x^{2}$ ; $y=x-3$.
a) Representa el recinto que encierra las dos funciones anteriores.
b) Calcula el área del recinto limitado por las funciones anteriores.

Resuelve los siguientes apartados:
a) Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, para $k\in\mathbb{R}$ sea $C$ la matriz dada por: $C=A^{t}+kB\cdot A$. Averigua para qué valores de $k$ la matriz $C$ tiene rango 2.
b) Encuentra la matriz $X$, de dimensión $3\times 3$, que verifica $M^{t}\cdot X=I-M$, donde $$M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} 2x+6y+kz=0 \\ kx+4y+2z=2 \\ kx+6y+2z=k-2 \end{cases}$$
a) Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro $k$.
b) Resuelve el sistema cuando el parámetro $k$ toma el valor $k=0$.

Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:
a) Dadas las rectas $$r:\begin{cases} x+y+z+1=0 \\ 2x-y+3z-2=0 \end{cases}$$ y $$s:\begin{cases} x=-1+2\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=-1-3\lambda \end{cases}$$, estudia la posición relativa entre $r$ y $s$.
b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi: 2x-y+z-5=0$.

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes: $$r:\begin{cases} -3x+2y=5 \\ -4y+3z+7=0 \end{cases}$$ y $\pi: 5x-6y+7z+58=0$.
a) Sabiendo que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto $A$, dar la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ que pasa por dicho punto $A$.
b) Calcula el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$.

El 10% de la población de Canarias tiene alergia a la flor del olivo. Con esta información, responde a las siguientes preguntas:
a) En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo?
b) Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo?
c) En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo?

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.
a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos?
b) Comprueba si es cierta la siguiente afirmación: "En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5% de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos".
c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos?