Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

Considera el sistema de ecuaciones: $x+(1-t)y=t$, $(1+t)x-3y=-t$, dependiente del parámetro t. 1) [1 PUNTO] Determina para qué valores de t el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro t si es necesario. 2) [1 PUNTO] Determina para qué valores de t el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso. 3) [0,5 PUNTOS] Determina para qué valores de t el sistema no tiene solución.

Considera la función $f(x)=\dfrac{1-\cos(x)}{x}$. 1) [0,5 PUNTOS] Calcula la derivada primera. 2) [0,5 PUNTOS] Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa $x=\pi$. 3) [1 PUNTO] Calcula $\lim_{x\to 0} f(x)$. 4) [0,5 PUNTOS] Calcula las asíntotas.

Considera los puntos A=(2,1,5), B=(3,4,1) y la recta $$r:\begin{cases} x=3-\lambda \\ y=4-3\lambda \\ z=1-4\lambda \end{cases}$$. 1) [0,5 PUNTOS] Se emite un rayo láser desde A. Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto B. 2) [1 PUNTO] Calcula la ecuación de una recta que pase por B y sea perpendicular al rayo y a la recta r. 3) [1 PUNTO] Calcula la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta r.

Un tenista juega el 20% de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra batida gana el 90% de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40% de los partidos. 1) [1,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega. 2) [1,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido.

Considera la ecuación matricial $AX-X=B$, siendo $$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$$, en donde a es un parámetro real. 1) [1 PUNTO] Despeja la matriz X de la ecuación anterior. 2) [0,5 PUNTOS] Halla los valores de a para los que no es posible calcular X. 3) [1 PUNTO] Calcula X para a=1.

Considera la función $$f(x)=\begin{cases} \sin(x) & \text{si } x\leq \pi/2 \\ \dfrac{2}{x}+a & \text{si } x>\pi/2 \end{cases}$$, siendo a un parámetro real. 1) [0,5 PUNTOS] Halla a para que f(x) sea continua. 2) [0,5 PUNTOS] Calcula $\lim_{x\to+\infty} f(x)$. 3) [0,5 PUNTOS] Halla una primitiva de f(x) para $x\leq \pi/2$. 4) [1 PUNTO] Calcula el área de la región limitada por la función y=f(x), las rectas $x=0$, $x=\pi/2$, y el eje OX.

Considera los puntos A=(1,3,1), B=(4,1,−2), C=(3,5,2), D=(1,1,3). 1) [1 PUNTO] Halla la ecuación del plano Π que contiene los puntos A, B, C. 2) [0,5 PUNTOS] Comprueba si el punto D está contenido en el plano Π. 3) [1 PUNTO] Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

En la Unión Europea hay aproximadamente 250 millones de hombres adultos, de los cuales 12 millones miden más de 190cm. En Holanda hay aproximadamente 7 millones de hombres adultos, cuya altura sigue una distribución normal con media 184 cm y desviación típica 7 cm. Supongamos que elegimos un hombre adulto al azar de toda la Unión Europea. 1) [0,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que mida más de 190 cm. 2) [0,25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que sea holandés. 3) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés. 4) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm.