Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

Qüestió 1. (2,5 punts en total)

Siguin les funcions $f(x) = x^3$ i $g(x) = a \cdot x^2$, en què $a$ és un nombre real positiu.

a) Trobeu, en funció del paràmetre $a$, els punts de tall entre les dues corbes $y = f(x)$ i $y = g(x)$ i feu un esbós de la regió limitada per les dues gràfiques. [1,25 punts]

b) Calculeu el valor de $a$ perquè l'àrea compresa entre $y = f(x)$ i $y = g(x)$ sigui $\dfrac{27}{4}$ u$^2$. [1,25 punts]

Qüestió 2. (2,5 punts en total)

Un avió es desplaça des d'un punt $A = (0, 3, 1)$ cap a una plataforma plana d'equació $\pi:\; x - 2y + z = 1$ seguint una recta $r$ paraŀlela al vector $\vec v = (1, -1, 0)$.

a) Calculeu les coordenades del punt de contacte $B$ de l'avió amb el pla i la distància recorreguda. [1,25 punts]

b) Calculeu l'equació general del pla perpendicular a la plataforma i que conté la recta $r$ seguida per l'avió des del punt $A$. [1,25 punts]

Qüestió 3. (2,5 punts en total)

Sigui $f(x)$ una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt $(0, 1)$. La gràfica de la seva derivada, $f'(x)$, és la que es mostra en la figura.

De la gràfica de $f'(x)$ es llegeix: $f'(0) = 0$ (la corba talla l'eix d'abscisses a $x=0$), $f'$ té un mínim local proper a $x=-1$ amb valor aproximat $-5$, $f'(x) > 0$ per a $x < -2$ i per a $x > 0$, i $f'(x) < 0$ per a $-2 < x < 0$. La derivada s'anuŀla únicament a $x = -2$ i $x = 0$.

a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x)$ en el punt de la gràfica d'abscissa $x = 0$. [1,25 punts]

b) Trobeu les abscisses dels punts singulars de la funció $f(x)$ i classifiqueu-los. [1,25 punts]

Qüestió 4. (2,5 punts en total)

Sigui la matriu $$A = \begin{pmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$, en què $a$ és un paràmetre real.

a) Estudieu el rang de la matriu $A$ per als diferents valors del paràmetre $a$. [1,25 punts]

b) Comproveu que per a $a = 4$ la matriu $A$ és invertible i que es verifica que $A^{-1} = A^2$. [1,25 punts]

Qüestió 5. (2,5 punts en total)

Una empresa està treballant en el disseny d'unes càpsules de cafè. L'empresa ha construït la secció transversal de les càpsules inscrivint-la en una semicircumferència de radi 1, traçant a continuació una corda $CD$ paraŀlela al diàmetre $AB$ i incorporant el punt $E$ en el punt mitjà de l'arc $CD$. D'aquesta manera queda traçat el pentàgon $ACEDB$, tal com es mostra en la figura. A la figura, $h$ és la distància vertical de la corda $CD$ al diàmetre $AB$, i $x$ és la meitat de la longitud de la corda $CD$ (de manera que $C = (-x, h)$ i $D = (x, h)$, amb el centre de la semicircumferència a l'origen).

a) Expresseu en funció de $x$ i $h$ l'àrea del pentàgon $ACEDB$. [1,25 punts]

b) Quina ha de ser la distància (indicada en la figura per $h$) a què s'ha de situar la corda $CD$ de $AB$ per tal que l'àrea del pentàgon $ACEDB$ sigui màxima? [1,25 punts]

Qüestió 6. (2,5 punts en total)

Siguin les rectes $r$ i $s$, expressades per $\dfrac{x-3}{2} = y = z - 1$ i $(\mu, -\mu, \mu)$, respectivament. Aquestes són dues rectes a l'espai tridimensional.

a) Determineu la posició relativa de les rectes. [1,25 punts]

b) Calculeu la distància entre la recta $r$ i la recta $s$. [1,25 punts]