P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:
$$\begin{cases}(2-a)x - ay + 2z = -4 \\ (a-2)x + (a+1)y = 5 \\ y + (a^2-a)z = 3-a\end{cases}$$
Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

P2) Halla el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo:
$$M = \begin{pmatrix} m-1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m+1 & 2 \end{pmatrix}\quad (2{,}5\text{ puntos})$$

P3) Los puntos $A(4,-2,-3)$, $B(2,-1,1)$ y $C(0,-3,-1)$ son vértices de un rombo.
a) Encuentra el cuarto vértice del rombo. (1,75 puntos)
b) Calcula el área del rombo. (0,75 puntos)

P4) Queremos construir un tetraedro de volumen $3 u^3$, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0$ con los ejes de coordenadas.
a) ¿A qué distancia de $\pi$ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? (1,5 puntos)
b) Encuentra dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. (1 punto)

P5) Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) $f(x) = \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\cos x}$ (1,25 puntos)
b) $g(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2}$ (1,25 puntos)

P6) Halla los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función $f(x) = e^{-x^2}$. Representa, de manera aproximada, la gráfica de $f$. (2,5 puntos)

P7) Se considera la función $f(x) = x^2 + e^{x/4}$.
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, 4]$. (1,25 puntos)
b) Comprueba que existen dos valores reales $\alpha$ y $\beta$ en $(-2, 4)$ tales que $f(\alpha) = 2 = f(\beta)$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)

P8) Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:
$$f(x) = \frac{9}{x}, \quad g(x) = 10x - x^3.$$
Tomando los dos puntos de corte con $x>0$, calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva. (2,5 puntos)