a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in\mathbb{R}$: $$\begin{cases}x+2y+3z=a+1\\ax+z=0\\x+y+2z=1\end{cases}$$. b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a=1$, si es posible.

a) [1,5 puntos] Encuentra razonadamente el valor de $a,b\in\mathbb{R}$ para que la función $f(x)=\dfrac{ax+1}{2x+b}$ tenga una discontinuidad de salto infinito en $x=1$ y tienda a $2$ cuando $x\to+\infty$. b) [1 punto] Resuelve la siguiente integral: $\int x\cdot\cos(2x)\,dx$.

a) [1,5 puntos] Estudia la continuidad en $\mathbb{R}$ de la función $f(x)=\left(2e^{x^2-4}-8x+14\right)/\left(x^2-2x\right)$. b) [1 punto] Sea el determinante $$\begin{vmatrix}x & y & z\\a & b & c\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=2$$, donde $x,y,z,a,b,c\in\mathbb{R}$. Calcula razonadamente e indicando las propiedades de los determinantes que utilizas el determinante de $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\a-2 & b-4 & c-6\\2x & 2y & 2z\end{vmatrix}$$.

Sea el punto $A=(1,0,1)$ y el plano $\pi\equiv x+y+z=8$. a) [1,5 puntos] Calcula la recta perpendicular a $\pi$ y que pasa por $A$. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano? b) [1 punto] Obtén el punto de la recta anterior distinto de $A$ que dista de $\pi$ igual que $A$, es decir, el punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$.

a) [1 punto] Sea el plano $\pi\equiv x-3y+z=0$ y los puntos $A=(0,0,-1)$ y $B=(1,1,1)$. Obtén el plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $A$ y $B$. b) [1,5 puntos] Calcula el área de la región delimitada por las funciones $f(x)=x^2-4x+5$ y $g(x)=3-x$.

a) [1,5 puntos] Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A=(a,0,1)$, $B=(1,3,0)$, $C=(0,1,0)$ y $D=(1,1,1)$, con $a\in\mathbb{R}$. Halla los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea $1$. b) [1 punto] Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función $f(x)=(2e^x-8x-3)/(x^2+2)$ corta al eje de abscisas al menos una vez.

a) [1,5 puntos] Despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial $A\cdot X+B=X$, siendo $X$, $A$ y $B$ matrices cuadradas cualesquiera. Calcula $X$ para las matrices $$A=\begin{pmatrix}3 & -1\\0 & 2\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{pmatrix}$$. b) [1 punto] Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60% de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos? [Se adjunta tabla binomial]

a) En un determinado IES la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del 80%, mientras que si no va a clase es del 50%. El 90% de los alumnos va a clase. a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe? a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase? b) Una empresa embotelladora de agua produce botellas de 150 ml. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media 150 ml y desviación típica 5 ml. b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml? b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml? [Se adjunta tabla N(0,1)]