Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2023

Sea f(x) = x / ((x - 2)(x - 1)). (i) Halla el dominio, asíntotas verticales y horizontales de la función f, en caso de que existan. (ii) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.

Halla el área del recinto encerrado por las gráficas de las parábolas y = x^2 - 2x + 1 e y = -2x^2 + 2x.

Calcula los siguientes límites: (i) lim_{x→0} (e^x + x^2)^{2/x}. (ii) lim_{x→∞} ((x^2 - 1)/(x + 2) - (x^2 + 1)/(x - 2)).

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado: {x + (a+1)y + z = a, x + y + (a+1)z = a, (a+1)x + y + z = a+1}.

Dada una matriz de tamaño 4 × 4 cuyo determinante es igual a 2. Calcula el valor del determinante de la matriz resultante al realizar las siguientes operaciones: (i) se traspone la matriz, (ii) se cambian entre sí la primera y la cuarta columnas, (iii) se multiplica la tercera columna por -4, (iv) se multiplica toda la matriz por 4.

Determina para qué valores del parámetro real a la matriz A = ((1, 1, 0),(a-1, a²-1, 1),(a²-1, a-1, a+1)) tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para a = 2.

Determina la posición relativa de la recta (x - 3)/0 = (y + 1)/1 = (z - 5)/(-1) y el plano de ecuación 3x + 2y - 11z + 3 = 0.

Halla el punto simétrico del punto A(0, 2, 3) respecto al plano π de ecuación x + 2y - z = 4.

En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos A, B y C. El 80% corresponde al coche de tipo A, el 10% al B y el resto al C. Se ha observado que hay piezas que están defectuosas en los siguientes porcentajes: el 10% de A, el 20% de B y el 5% de C. Se elige una pieza al azar. Calcula: (i) la probabilidad de coger una pieza defectuosa. (ii) si sabemos que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.

La edad media de un jugador de la NBA sigue una distribución normal de media 26 años y desviación típica 5 años. Si se elige un jugador al azar, halla (i) la probabilidad de que su edad sea superior o igual a 31 años; (ii) la probabilidad de que su edad esté entre 21 y 31 años. (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen).