Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Sea f(x) = (1 + 4x⁴ - x²) / x. (i) Halla el dominio y asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función f en caso de que existan. (ii) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.

Dibuja el recinto limitado por las parábolas y = x² - 8x, e y = 10 - x². Calcula su área.

Calcula los siguientes límites: (i) lim_{x→0} (cos 2x)^{5/x}. (ii) lim_{x→∞} (1 + x)^{1/x}.

Determina para qué valores del parámetro real a la matriz A = ((1, a+1, 1),(1, 1, a+1),(a+1, 1, 1)) tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para a = 2.

(i) Determina las matrices cuadradas de dimensión 2 × 2 de la forma M = ((2, x),(0, y)) que satisfagan la siguiente identidad: M M^T = ((5, 1),(1, 1)), donde M^T representa la matriz traspuesta de M. (ii) Resuelve el sistema {AX + BY = C, AX = Y}, sabiendo que A = ((2,1),(0,1)), B = ((2,0),(1,1)), C = ((15,3),(7,3)).

Dada la matriz A = ((0, 3, 4),(1, -4, -5),(-1, 3, 4)). Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^{3}$ = -I, donde I es la matriz identidad de orden tres.

La proyección ortogonal del punto P(1, 0, -1), sobre el plano π es el punto Q(-3, 2, 5). Halla la ecuación del plano π y las coordenadas del punto simétrico de P respecto a dicho plano π.

Determina la posición relativa de los tres planos, según los valores del parámetro m: {mx + y + z = 1, x + my + z = m, x + y + mz = m²}.

La estadística de un equipo de baloncesto en un partido, desvela que el 45% de los puntos conseguidos por el equipo corresponde al jugador número 23, de los cuales el 65% son triples; 15% al jugador número 6 de los cuales el 25% son triples y el resto de la puntuación, siendo el 10% triples, corresponde a otros jugadores del equipo. Halla la probabilidad de que: (i) una de las jugadas del equipo haya acabado en un triple. (ii) sabiendo que la canasta ha sido un triple, haya sido conseguida por el jugador número 23.

La estatura media de un jugador de fútbol del Real Madrid sigue una distribución normal de media 180 cm y desviación típica 10 cm. Si se elige un jugador al azar, calcula: (i) la probabilidad de que su altura sea superior o igual a 200 cm; (ii) la probabilidad de que su altura esté entre 170 y 190 cm. (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen).