Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Sea la función $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-e^{-x}$. Determinar el dominio, extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.

Sea la función $f(x)=\cos x$. Hallar el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x=-\pi/4$, la gráfica de $f$ y las rectas $x=-\pi/4$ y $x=\pi/2$.

Calcular los siguientes límites: a) $\lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^{\tan x}$. b) $\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{4x-1}{4x}\right)^x$.

Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} ax+y+z=2\\ 2x+ay+a^2z=1\\ 2x+y+z=2\end{cases}$$ según el valor del parámetro real $a$.

Hallar las matrices $A-B$, $A$ y $B$, sabiendo que las matrices $A$ y $B$ satisfacen las siguientes identidades: $$A+B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$, $$A^2-AB+BA-B^2=\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2\\ -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$.

Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5\\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}$$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3=-I$, donde $I$ es la matriz identidad.

Hallar la ecuación de la recta tal que: a) pasa por el punto $P(1,1,1)$, b) es paralela al plano $\pi\equiv x+y-2z-3=0$, c) es perpendicular a la recta $$r\equiv\begin{cases} x=3+\lambda\\ y=2-\lambda\\ z=1-2\lambda\end{cases}$$.

Calcular el valor del parámetro real $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten y calcular este punto. $$r\equiv\begin{cases} 4x+z=a\\ x+y=2\end{cases}$$, $$s\equiv\begin{cases} x+y+z=0\\ x+2z=2a\end{cases}$$.

El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media 20 minutos. Se ha comprobado que el 84,1% de los días llega antes de 22 minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo 290 días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar?

Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades 0,5, 0,2 y 0,3. El 60% de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el 10% de las veces que va al teatro y el 90% de las que va de concierto. a) ¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos? b) Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?