Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

Dada la curva f(x) = x²/4 + 4x + 4. (i) Halla los puntos de la curva en los que la recta tangente a ésta pase por el punto (0, 0). (ii) Da las ecuaciones de las rectas tangentes.

Halla el área de la región que delimita la gráfica de la función g(x) = x·sen(x) y el eje de las abscisas en el intervalo que va de x = 0 al menor valor b > 0 tal que g(b) = 0.

Determina, si existe, el valor de a tal que: (i) lim_{x→+∞} (sqrt(9x² + ax + 1) - (3x - 1)) = 2. (ii) lim_{x→∞} ((3x + a)/(3x - 1))^x = e.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado: {x + y + az = a, ax + ay + z = 1, x + ay + z = a}.

Sean las matrices A = ((1, a, 2),(0, -1, 1)), B = ((0, a),(1, 1),(3, 2)). (i) Determina para qué valores de a la matriz AB tiene inversa. (ii) Resuelve para a = 0 la ecuación matricial ABX = 3I, siendo I la matriz identidad.

Determina los valores de los parámetros a, b y c para los que (x, y, z) = (1, 2, 3) es solución del sistema {2ax + by + z = 3c, 3x - 2by - 2cz = a, 5ax - 2y + cz = -4b}.

Halla la ecuación de una recta paralela al plano π ≡ x + y + z = 0 y que contenga al punto P(1, 0, 1). ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.

Determina los valores de los parámetros a y b para que el plano π ≡ ax + y + z = b contenga a la recta r ≡ {x + y + z = 1, -x - 2y + z = 0}.

En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian Matemáticas, el 35% Medicina y el 45% Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y 18%. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que: (i) finalice sus estudios; (ii) estudie Medicina si no finaliza sus estudios.

Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y desviación típica 2. Calcula el valor de a para que P(4 - a ≤ X ≤ 4 + a) = 0,5934. (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen).