Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2026

En el grado de Matemáticas la probabilidad de aprobar las asignaturas: Métodos Algorítmicos en Matemáticas, Estadística y Bases de datos son 60 %, 75 % y 80 %, respectivamente.

Contesta justificadamente los siguientes apartados:
(a) En un reparto de tierras una de las parcelas está delimitada por las curvas $y=\sqrt{4-x}$, $y=\sqrt{4-4x}$ e $y=0$. Ayudándote de la Figura 1, determina el área de esa parcela. [1 punto]
(b) En dicha parcela el propietario decide hacer una piscina rectangular, de tal manera que uno de sus lados está en el eje y = 0, véase la Figura 1. Calcula el área máxima de la piscina. [1 punto]
Figura 1: Parcela con piscina. [Se adjunta figura en el PDF original]

Contesta justificadamente los siguientes apartados:
En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: A, B y C. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:De la variante A venden en tienda el 50 %, de la variante B el 60 % y de la variante C el 40 %. El resto se reparte a domicilio.

Dada la función $f(x)=xe^{-2x^2}$,
a) determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas, [0.75 puntos]
b) Halla los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento y, los puntos de inflexión, [0.75 puntos]
c) Con la información obtenida en los apartados anteriores representa la curva, [0.5 puntos]
4.2 Contesta justificadamente los siguientes apartados:
a) Calcula el siguiente límite \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\left(\frac{x}{\sin x}-1\right)}{a^2x^2},  a
e0\). [1 punto]
b) Sea la función $f(x)=x^3(x-1)^2+1$. Demuestra que la ecuación $f\prime(x)=0$ tiene alguna solución en $(0,1)$, [1 punto]

Contesta justificadamente los siguientes apartados:
En un chiringuito de playa se instala un toldo para los clientes. El toldo se coloca en los siguientes puntos de apoyo: $(3,8,17/2)$, $(4,6,37/4)$, $(2,8,8)$ y $(s,16{,}8)$, con $s\in\mathbb R$.
a) Determina la ecuación del plano que contiene al toldo. [0.75 puntos]
b) Calcula el valor de $s$ para que los cuatro puntos sean coplanarios, es decir, están en el mismo plano. [0.75 puntos]
c) Se quiere instalar un altavoz para poner música y este debe estar como mínimo a 2 metros de distancia del toldo, ¿estará correctamente colocado si el altavoz está en el punto $(0,0,5)$? [0.5 puntos]
5.2 Contesta justificadamente los siguientes apartados:
Sean las rectas $r:\frac{x}{2}=y-3=\frac{z-1}{-2}$; y $s:\begin{cases}x=-2\lambda,\\y=\lambda,\\z=1+\lambda.\end{cases}$
a) Estudia la posición relativa de las dos rectas $r$ y $s$. [1 punto]
b) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P=(1,1,-1)$ y es paralelo a las dos rectas $r$ y $s$. [1 punto]