Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Sea $f(x)=\dfrac{x^3}{(1+x)^2}$. (i) Halla el dominio, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función $f$, en caso de que existan. (ii) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión si los hubiera.

Halla el valor de $a$ y $b$ para que la curva $y=x^3+ax^2+bx+1$ tenga en el punto $(x_0,-1)$ un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga 1.

Calcula los siguientes límites: (i) $\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x-x}{x-\operatorname{sen} x}$. (ii) $\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{4x^2-6x^2}{4x^2-1}\right)^{x^2/3}$.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x+y+z=2\\ x+2y+az=8\\ 2x-y-z=1\\ x-y+z=-2\end{cases}$$

Calcula sin desarrollar el valor del siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 2 & b & c+a\\ 2 & a & b+c\\ 2 & c & a+b\end{vmatrix}$$. Justifica en cada paso la propiedad de determinantes que has utilizado.

Resuelve la siguiente ecuación matricial: $$\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 0\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$.

Determina según los valores del parámetro real $a$ la posición relativa de la recta $$r:\begin{cases} ax+3y-2z=2\\ 2x-y+z=2\end{cases}$$ y el plano de ecuación $6x+5y-3z=2$.

Estudia según los valores del parámetro real $a$ la posición relativa de las rectas siguientes: $$r:\begin{cases} ax+3y-2z=12\\ 2x+5y-z=6\end{cases}$$ y $$s:\begin{cases} x=5+3\lambda\\ y=1-\lambda\\ z=6+4\lambda\end{cases}$$

Estudia la posible dependencia de los sucesos $A$ y $B$, en los siguientes casos: (i) $A$ y $B$ son incompatibles y ambos sucesos de probabilidad no nula. (ii) $B$ está incluido en $A$, y $B$ es un suceso de probabilidad no nula.

La presión arterial sistólica de una muestra de adolescentes sigue una distribución normal de media 120 años y desviación típica 12. Si se elige un adolescente al azar, halla: (i) la probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132. (ii) la probabilidad de que su presión arterial esté entre 96 y 144. (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen.)