Exámenes›Navarra›Matemáticas II›Ordinaria 2020›Solución

Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2020

Navarra8 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

2.5 puntos

Álgebra

Sistema lineal dependiente de parámetro

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que es compatible:

\begin{cases} (a+1)x + (a^2+a)y = 2 \\ (-a-1)x - a^2 y = 0 \\ ay + (a^2 - 1)z = 3 - a \end{cases}

. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Estudio y resolución del sistema según el parámetro a

(2.5 puntos)

Pregunta 2

2.5 puntos

Geometría

Recta paralela a un plano que corta a otra recta

Calcula la ecuación continua de una recta

r

sabiendo que corta a la recta

s\equiv\begin{cases}3x+y-z-7=0\\ x+y-5=0\end{cases}

, es paralela al plano

\pi\equiv 2x-2y+3z-5=0

y pasa por el punto

P\equiv(-1,3,1)

Recta r dada por punto + condiciones de incidencia y paralelismo

(2.5 puntos)

Pregunta 3

1.25 + 1.25 puntos

Análisis

Cálculo de dos límites

Calcula los siguientes límites: a)

\lim_{x\to 1}\Big(2+\sin\frac{3\pi x}{2}\Big)^{\frac{1}{x^2-x}}

. b)

\lim_{x\to+\infty}\Big(\sqrt{x^4+x^3+1}-\sqrt{x^4-7}\Big)

Límite con indeterminación 1^∞

(1.25 puntos)

Límite ∞-∞ con raíces cuárticas

(1.25 puntos)

Pregunta 4

0.75 + 1.75 puntos

Análisis

Continuidad y existencia de derivada nula (Rolle)

Sea la función

f(x)=\Big(1+\sin\frac{\pi x}{2}\Big)^{x}

. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[1,2]

. b) Demuestra que existe

\alpha\in(1,2)

tal que

f'(\alpha)=0

. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Continuidad en [1,2]

(0.75 puntos)

Existencia de un punto con f'(α)=0

(1.75 puntos)

Pregunta 5

2.5 puntos

Álgebra

Determinante de C = (2·A^t·B⁻¹)²

Sean

A

B

dos matrices de tamaño

3\times 3

tales que

|A|=|B|=\frac{1}{2}

. Calcula

|C|

teniendo en cuenta que la matriz

C

es la siguiente:

C=(2\cdot A^t\cdot B^{-1})^2

Cálculo del determinante

(2.5 puntos)

Pregunta 6

2.5 puntos

Geometría

Vértices de un cuadrado a partir de dos vértices y una recta

Los puntos

A\equiv(-1,2,1)

B\equiv(2,5,1)

son dos vértices de un cuadrado. Halla los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación

r\equiv \dfrac{x}{-1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{z+1}{-4}

Cálculo de los otros 2 vértices

(2.5 puntos)

Pregunta 7

1 + 1.5 puntos

Análisis

Continuidad y existencia de f'(α) = -ln 2

Sea la función

f(x)=(x+3)^{\sin(\pi x)}\ln(x^2-x+2)

. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[-1,0]

. b) Demuestra que existe

\alpha\in(-1,0)

tal que

f'(\alpha)=-\ln 2

. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Continuidad en [-1,0]

(1 punto)

Existencia de α con f'(α) = -ln2

(1.5 puntos)

Pregunta 8

2.5 puntos

Análisis

Área entre f(x)=sin(πx) y g(x)=|x²−x|

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f(x)=\sin(\pi x)

g(x)=|x^2-x|

. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

Puntos de corte + área

(2.5 puntos)

Solución gratuitaVer más exámenes de Matemáticas II

Compartido0 veces

Recursos para tu selectividad PAU

selectividad.academy

Academia líder en selectividad PAU online

Guía definitiva PAU 2026

Todo sobre la PAU: fechas, estructura y consejos

Ver recurso

Calculadora nota PAU — Gratis

Calcula tu nota de admisión en 30 segundos

Ver recurso

Temario selectividad gratis

Qué entra en cada asignatura y dónde ha caído

Ver recurso

Nuestras asignaturas

Clases con profesor especialista en la PAU

Ver recurso

Selectividad Academy

Aprueba la PAU con nota

Aprende los trucos que no vienen en los libros · Profesores especialistas en la PAU · Damos clase desde cero · Material incluido

Reservar clase gratis →