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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2024

Navarra8 problemas100% ResueltoMatemáticas II

Pregunta 1

P1: 2,5 pts

Álgebra

Discusión y resolución de sistema con parámetro

P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

\begin{cases} x + (a^2+a)z = 0 \\ x + (2a-1)y + (a+1)z = a \\ (2a-1)y + (a+1) = 0 \end{cases}

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. (2,5 puntos)

Pregunta 2

2,5 puntos(1,5 + 1)

Álgebra

Matrices regulares e identidad

P2) Sean

A

P

Q

tres matrices cuadradas regulares tales que

Q\cdot A\cdot P = I

, donde

I

es la matriz identidad de la misma dimensión.
a) Demuestra que

A\cdot P\cdot Q\cdot A = Q^{-1}\cdot P^{-1}

. (1,5 puntos)
b) Calcula la matriz

A

para el caso en que

P

Q

sean las siguientes:

P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\quad (1\text{ punto})

Demostrar APQA = Q⁻¹P⁻¹

(1,5 pts)

Calcular A para P y Q dadas

(1 pto)

Pregunta 3

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Geometría

Alineación, recta y área del triángulo

P3) Se consideran el plano

\pi \equiv 2x + y - z - 5 = 0

, la recta

r \equiv \begin{cases} x + 2z + 3 = 0 \\ -x - y + z + 4 = 0 \end{cases}

y los puntos

A(3, 2, -1)

B(1, 1, -1)

. Sea

C

la intersección entre la recta

r

y el plano.
a) Demuestra que los puntos

A

B

C

no están alineados. (1,25 puntos)
b) Calcula el área del triángulo que conforman los tres puntos. (1,25 puntos)

A, B, C no alineados

(1,25 pts)

Área del triángulo ABC

(1,25 pts)

Pregunta 4

P4: 2,5 pts

Geometría

Cuadrado: cálculo de los otros dos vértices

P4) El punto

P(4, 5, 0)

es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación

r \equiv \begin{cases} 2x + 2y + z = 0 \\ 2x - z - 2 = 0 \end{cases}

. Calcula los dos vértices que determinan este segundo lado. (2,5 puntos)

Pregunta 5

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Análisis

Cálculo de límites

P5) Calcula los siguientes límites:
a)

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{\sqrt x}

(1,25 puntos)
b)

\displaystyle\lim_{x\to 1} x^{\frac{2x}{x-1}}

(1,25 puntos)

Límite de (ln x)²/√x en +∞

(1,25 pts)

Límite de x^(2x/(x-1)) cuando x→1

(1,25 pts)

Pregunta 6

2,5 puntos(0,5 + 2)

Análisis

Continuidad y extremos de cos(πx)+sin(πx)

P6) Se considera la función

f(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x)

.
a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo

[0, 1]

. (0,5 puntos)
b) Halla sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (2 puntos)

Continuidad en [0,1]

(0,5 pts)

Extremos relativos y absolutos en [0,1]

(2 pts)

Pregunta 7

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Análisis

TVM aplicado a √(2x²+2x+3)

P7) Se considera la función

f(x) = \sqrt{2x^2 + 2x + 3}

.
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[-1, 3]

y derivable en

(-1, 3)

. (1,25 puntos)
b) Comprueba que existe un valor

\alpha \in (-1, 3)

tal que

f'(\alpha) = \dfrac{\sqrt 3}{2}

. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)

f continua en [-1,3], derivable en (-1,3)

(1,25 pts)

∃α ∈ (-1,3) con f'(α)=√3/2

(1,25 pts)

Pregunta 8

P8: 2,5 pts

Análisis

Área entre f(x)=ln x y g(x)=(x-1)/(e-1)

P8) Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f(x) = \ln x, \quad g(x) = \frac{x-1}{e-1}.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. (2,5 puntos)

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