Dadas $$A=\begin{pmatrix}a-3 & 0 & 4\\ 1 & 0 & -2\\ -1 & a & 3\end{pmatrix}$$ y $$b=\begin{pmatrix}2\\-1\\a\end{pmatrix}$$, siendo $a\in\mathbb{R}$:
a) (1,25 pto) Discuta el sistema $AX=b$ según los valores de $a$.
b) (0,75 pto) Resuelva el sistema cuando $a=1$.

Una farmacia vende 3 tipos de mascarillas (quirúrgicas desechables, higiénicas y quirúrgicas reutilizables). El precio medio de las 3 es 0,90 €. Un cliente compra 30 desechables, 20 higiénicas y 10 reutilizables y abona 56 €. Otro compra 20 desechables y 25 reutilizables y paga 31 €. Calcule el precio de cada tipo.

Resuelva la ecuación matricial $XA+XA^t=B$, siendo $$A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ 3 & 0 & -1\end{pmatrix}$$.

Halle la ecuación general del plano que contiene a la recta $$r:\begin{cases}3x+y-4z+1=0\\ 2x+y-z+2=0\end{cases}$$ y es perpendicular al plano $\pi:2x-y+3z-1=0$.

Calcule el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{2/\tan(x)}$.

Un campo de juego tiene una parte central rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y dos partes laterales que son semicircunferencias de diámetro $x$. La superficie total es $4+\pi$ m². Debe pintarse el perímetro y las rayas interiores (los dos segmentos de altura $x$ que separan el rectángulo de los semicírculos), y se quiere que la cantidad de pintura sea mínima. Halle $x$ e $y$.

Dada $f(x)=-\dfrac{x^2}{2}+2\ln(x+1)$:
a) (0,25 pto) Calcule el dominio de $f$.
b) (1,75 pto) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int x^3 e^{x^2}\,dx$.

En abril de 2.020, en una encuesta a estudiantes de 2º de bachillerato: el 80% disponía de ordenador, el 15% disponía de móvil y el 10% disponía de ambos.
a) (1,25 pto) Probabilidad de que un estudiante (elegido al azar) dispusiese de alguno de los dos dispositivos (o ambos).
b) (0,75 pto) Probabilidad de que no dispusiese de ninguno.

El tiempo que le cuesta a un estudiante llegar de casa a la universidad sigue una distribución normal de media 30 minutos y desviación típica 5 minutos.
a) (0,75 pto) Probabilidad de que tarde menos de 40 minutos.
b) (0,75 pto) Probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos.
c) (0,5 pto) Si el estudiante dispone de exactamente 40 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde?