Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2026

Considere la función $f(x)=\frac{5x}{x^2+1}$.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases}2x+ky+z=3\\-x+2y+2z=1\\x+y+z=2,\end{cases}$$ donde $k$ es un parámetro real.

Se quiere construir un parque eólico en el Solsonès, formado por 10 aerogeneradores. La empresa que los construirá está diseñando las palas según el esquema siguiente, donde $x$ y $f(x)$ están medidos en metros (el dibujo no está a escala):<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 340 315" width="340" height="315"><path d="M50,246 C90,150 130,150 170,150 Z" fill="lightgray"/><path d="M170,150 C210,150 250,150 290,54 Z" fill="lightgray"/><line x1="10" y1="150" x2="330" y2="150" stroke="black"/><line x1="170" y1="295" x2="170" y2="10" stroke="black"/><path d="M50,246 C130,54 210,246 290,54" fill="none" stroke="black"/><line x1="50" y1="246" x2="290" y2="54" stroke="black"/><text x="253" y="27">g(x) = 8x</text><text x="23" y="290">f(x) = 2x³</text></svg>

Se ha calculado que cada uno de los 10 aerogeneradores tendrá una potencia de 100 MW. Debido a varios factores, cada uno tiene una probabilidad del 10 % de estar parado, independientemente del resto de aerogeneradores.

Aina quiere construir una caja de cartón en forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el cargador.
OPCIÓN A
Aina construirá la caja a partir de un cartón rectangular de 80 cm × 50 cm. En la siguiente figura se muestra el desarrollo de la caja; las zonas rayadas son las partes que Aina recortará y retirará para poder montarla:<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 430 285" width="430" height="285"><defs><pattern id="rayado" width="8" height="8" patternUnits="userSpaceOnUse"><path d="M0,8 L8,0" stroke="black" fill="none"/></pattern></defs><rect x="30" y="30" width="320" height="200" fill="none" stroke="black"/><rect x="30" y="30" width="40" height="40" fill="url(#rayado)" stroke="black"/><rect x="30" y="190" width="40" height="40" fill="url(#rayado)" stroke="black"/><rect x="190" y="30" width="160" height="40" fill="url(#rayado)" stroke="black"/><rect x="190" y="190" width="160" height="40" fill="url(#rayado)" stroke="black"/><line x1="70" y1="30" x2="70" y2="230" stroke="black"/><line x1="190" y1="30" x2="190" y2="230" stroke="black"/><line x1="230" y1="30" x2="230" y2="230" stroke="black"/><line x1="30" y1="70" x2="350" y2="70" stroke="black"/><line x1="30" y1="190" x2="350" y2="190" stroke="black"/><text x="37" y="20">x cm</text><text x="0" y="56">x cm</text><text x="360" y="136">50 cm</text><text x="158" y="255">80 cm</text></svg>

Aina quiere construir una caja de cartón en forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el cargador.
OPCIÓN B
Aina quiere hacer un croquis en 3D de la caja utilizando un programa informático. Para empezar, sitúa un lado de la tapa desde el vértice $A(1,1,1)$ hasta el vértice $B(4,1,5)$, y el otro lado de la tapa desde el vértice $A$ hasta el vértice $C(1,10,1)$.