Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2023

Una papelería vende bolígrafos, rotuladores y libretas. Una libreta cuesta el doble que un bolígrafo y un rotulador juntos, un bolígrafo cuesta la sexta parte que una libreta, y un rotulador cuesta el doble que un bolígrafo.

a) [0,75 p.] Denotando por $x$ el precio de cada bolígrafo, por $y$ el de cada rotulador y por $z$ el de cada libreta, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.

b) [0,25 p.] Justifique que, con estos datos, no se puede conocer el precio de cada uno de los tres productos.

c) [1 p.] Calcule el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema.

d) [0,5 p.] Sabiendo que una libreta cuesta 18 euros, calcule el precio de cada producto.

Considere las siguientes matrices:

$$A=\begin{pmatrix} a & a\\ -1 & a \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} -1 & -4\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\quad$$ y $$\quad C=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

a) [0,5 p.] Determine para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ es regular (o invertible).

Se sabe que cuando $a=-2$ la matriz $A$ es regular (o invertible). Para ese valor de $a$:

b) [1 p.] Calcule la inversa de $A$ y compruebe que $A\cdot A^{-1}=I$, con $I$ la matriz identidad de orden 2.

c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AXA^{-1}+B=C^{\top}$, donde $C^{\top}$ denota la matriz traspuesta de $C$.

Calcule los siguientes límites:

a) [1,25 p.] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos(2x)-1}{x\,\mathrm{sen}(x)}$.

b) [1,25 p.] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}{3x}$.

Considere la función $f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}$, definida para todo valor de $x\in\mathbb{R}$.

a) [0,5 p.] Calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

b) [0,5 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$.

c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

d) [0,5 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(1,1)$.

Considere las siguientes rectas:

$$r:\left\{\begin{array}{l} x-2y=5\\ y+z=0 \end{array}\right.\quad$$ y $\quad s:\dfrac{x-8}{2}=\dfrac{y+3}{1}=\dfrac{z-3}{-1}.$

a) [1 p.] Compruebe que ambas rectas son paralelas.

b) [1 p.] Compruebe que el punto $P=(7,1,-1)$ está en la recta $r$ y calcule su proyección ortogonal sobre la recta $s$.

c) [0,5 p.] Calcule la distancia entre ambas rectas.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi:3x-y-2z=5$ y la recta $r$ dada por

$r:\dfrac{x-a}{1}=\dfrac{y-3+a}{1}=\dfrac{z}{1}.$

a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.

Se sabe que cuando $a=0$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$. Para ese valor de $a$:

b) [0,75 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.

c) [0,5 p.] Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo al plano $\pi$.

Dos urnas $A$ y $B$ contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna $A$ contiene 3 bolas verdes, 3 bolas rojas y 4 bolas negras, y la urna $B$ contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se saca al azar una bola de la urna $A$ y se mete en la urna $B$. A continuación, se saca al azar una bola de la urna $B$. Calcule:

a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna $B$ sea negra, sabiendo que la bola que se sacó de la urna $A$ era verde.

b) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna $B$ sea negra.

c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se sacó de la urna $A$ fuera verde, sabiendo que la bola que se ha sacado de la urna $B$ ha sido negra.

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.

Se lanza una moneda al aire 100 veces y se anota el resultado del lanzamiento, que puede ser cara o cruz con la misma probabilidad. Determine:

a) [0,5 p.] Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale cara.

b) [0,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.

c) [0,5 p.] Cuál es la probabilidad de que salga cara 60 veces.

d) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que el número de veces que sale cara sea mayor o igual que 55.