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Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2022

Navarra8 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

2,5 pts

Álgebra

Discusión y resolución de sistema con parámetro

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

\begin{cases} x + (a^2 - 2a)y - z = -a^2 \\ x + (a^2 - 4)y + (2a - 3)z = -a^2 - 2a \\ x + (a^2 - 4a + 4)y + (a^2 - 2a)z = -a^2 + a - 1 \end{cases}

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Pregunta 2

2,5 pts

Álgebra

Singularidad de A^{26} + A^{25}

Calcula los valores de

t

para los que la matriz

A^{26} + A^{25}

es matriz singular, siendo

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1 \end{pmatrix}.

Pregunta 3

2,5 pts

Geometría

Recta por un punto que corta a dos rectas

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto

T=(1,-5,3)

y corta a las siguientes rectas:

r\equiv\begin{cases} -x - y - z + 3 = 0 \\ 3x + z - 10 = 0\end{cases}\quad\text{y}\quad s\equiv\frac{x}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}.

Pregunta 4

2,5 pts

Geometría

Recta paralela a un plano que corta a otra recta

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto

P=(1,2,-1)

, es paralela al plano

\pi\equiv 2x - y + z = 0

y corta a la recta

r\equiv\begin{cases} x - y + 2z + 2 = 0 \\ 3x - y - z - 3 = 0\end{cases}.

Pregunta 5

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Análisis

Integrales indefinidas

Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)

\displaystyle\int\frac{dx}{2x\sqrt{x-1}}

(1,25 puntos)
b)

\displaystyle\int(3-2x)e^{-2x}\,dx

(1,25 puntos)

Pregunta 6

2,5 puntos(0,75 + 1,75)

Análisis

Continuidad y extremo de f(x)=e^{1/(sin x + cos x)}

Se considera la función

f(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}}

.
a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo

[0, \pi]

. (0,75 puntos)
b) Halla su extremo relativo en ese mismo intervalo. (1,75 puntos)

Pregunta 7

2,5 puntos(0,75 + 1,75)

Análisis

Existencia de un valor con f'(α)=e (Bolzano sobre f')

Se considera la función

f(x) = \dfrac{e^{x^2 - 2}}{x}

.
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[-2, -1]

. (0,75 puntos)
b) Comprueba que existe un valor

\alpha\in(-2, -1)

tal que

f'(\alpha) = e

. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,75 puntos)

Pregunta 8

2,5 pts

Análisis

Área entre f(x)=2−|x| y g(x)=x²−10

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f(x) = 2 - |x| \quad \text{y} \quad g(x) = x^2 - 10.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

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