Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2026

En Navarra, aproximadamente un $1{,}4\%$ de la población es intolerante al gluten. Un test de intolerancia al gluten tiene una sensibilidad del $97\%$ (es decir, si se aplicase a 100 personas intolerantes al gluten, se espera que 97 darían positivo y 3 negativo). El mismo test tiene una especificidad del $96\%$ (aplicando el test a 100 personas sin intolerancia, 96 darían negativo y 4 positivo). Elegimos una persona al azar:

Sea $y=f(x)$ la función positiva que cumple la ecuación $(x-1)^2+y^2=1$.

Encuentra la ecuación continua de la recta $t$ que pasa por el punto $A(2,4,-2)$ y corta a las rectas $$s\equiv\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}\qquad\text{y}\qquad r=\begin{cases}x=-1+\lambda\\y=-2\\z=1+3\lambda\end{cases}\quad\lambda\in\mathbb R.$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible indeterminado: $$\begin{cases}(a^2-4)x+(a+2)y+2z=4\\(4-a^2)x+z=2\\(a^2-4)x+(a+2)y+az=-4\end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dadas las siguientes matrices $A$ y $B$, calcula $|A\cdot B^{-1}|$ en función del parámetro $t$. ¿Para qué valores de $t$ no existe $|A\cdot B^{-1}|$? $$A=\begin{pmatrix}t+1&t^2&2\\t+1&t^2+t-2&2-t\\t+1&t^2&4\end{pmatrix};\qquad B=\begin{pmatrix}t&3t&t^2-1\\0&t&2-t\\t&4t&t^2\end{pmatrix}.$$

Calcula la siguiente integral indefinida y el límite: $$\int\frac{e^2\cdot e^{\tan(x)}}{4\cdot\cos^2(x)}\,dx;\qquad\lim_{x\to-\infty}\frac{2^x-2}{4^{\frac{x-2}{2x+1}}-1}.$$

Estudia las asíntotas y simetrías de la función $f(x)=\frac{3x^2+2}{x-2}$.