Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$. a) Calcular, cuando sea posible, las matrices $C\cdot B^t$, $B^t\cdot C$, $B\cdot C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. (0.5 puntos) b) Hallar $a\in\mathbb{R}$ para que el sistema $x\cdot A + y\cdot B = C$ de tres ecuaciones y dos incognitas $x$ e $y$, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de $a$. (1.5 puntos)

Dadas las matrices $$M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ y $$N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$. Calcular la matriz $X$ cuadrada de orden 3 que cumple $M\cdot X - N = 2X$. (2 puntos)

Dados el plano $\pi$ de ecuacion $x+2y-z=0$ y $r$ la recta de ecuaciones $$r\equiv \begin{cases} y-2x=1 \\ x-z=0 \end{cases}$$. a) Hallar el punto de interseccion del plano $\pi$ y la recta $r$. (1 punto) b) Calcular la distancia del origen a la recta $r$. (1 punto)

Dada la recta $r$ definida por $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z-2}{1}$. a) Hallar la ecuacion del plano que pasa por el origen y contiene a $r$. (1 punto) b) Hallar la ecuacion del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$. (1 punto)

Calcular el valor de $a\in\mathbb{R}$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x\cdot e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} & \text{si } x\neq 0 \\ a & \text{si } x=0 \end{cases}$$ sea continua en $x=0$. (2 puntos)

Dada la función $f(x) = |x+1| + |x-2|$. a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función. (1 punto) b) Calcular el intervalo donde la función permanece constante. (1 punto)

Determinar la función $f(x)$ tal que su grafica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea $f'(x) = (2x+1)e^{-x}$. (2 puntos)

Calcular el area encerrada por la grafica de la función $f(x) = \operatorname{sen}(2x)$, el eje OX y las rectas $x=0$ y $x=\pi$. (2 puntos)

En un centro educativo han preguntado a sus alumnos acerca de alergias alimentarias, resultando que un 10% es celiaco y un 15% es alergico a la lactosa. Además el 20% tiene alguna de las dos alergias. Si se elige un alumno al azar, calcular las siguientes probabilidades: a) tenga solo una de las dos alergias (1 pt); b) sea celiaco si sabemos que no es alergico a la lactosa (1 pt).

Un examen con opcion multiple esta compuesto por 10 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales solo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes responde todas las preguntas del examen al azar. Calcular la probabilidad de que conteste bien: a) cinco preguntas (0.75 pts); b) alguna pregunta (0.75 pts); c) Calcular la media y la desviacion tipica de la distribucion (0.5 pts).