Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2024

Sea $b\in\mathbb{R}$ y la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & b+1 & 1 \\ 2 & b+2 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}$$. a) Calcular los valores de $b$ para los que $A$ tiene inversa. (1 punto) b) Hallar $A^{-1}$ para el caso $b=0$ (debe justificarse adecuadamente la respuesta). (1 punto)

Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$, $$M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix}$$ y $$N=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$, hallar los valores de $a$ y $b$ para que el producto $A\cdot M$ sea igual a la inversa de la matriz $N$. (2 puntos)

Hallar la ecuacion del plano que contiene a la recta $$r\equiv \begin{cases} x-y-4z+1=0 \\ x-2z+1=0 \end{cases}$$ y es paralelo a la recta de ecuacion $s\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z}{3}$. (2 puntos)

Dados los puntos $A(1,2,1)$, $B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$. Determinar: a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. (1 pt) b) El angulo determinado por dichos vectores. (0.5 pts) c) El area del triangulo que forman A, B y C. (0.5 pts)

Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la funcion $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$. (2 puntos)

Calcular el valor de $a$ para que la funcion $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(x) - x\cdot e^x}{x^2 - 2\cos(x) + 2} & \text{si } x\neq 0 \\ a & \text{si } x=0 \end{cases}$$ sea continua en $x=0$. (2 puntos)

Hallar una primitiva $F(x)$ de la funcion $f(x) = (2x+5)\cdot e^{-2x}$ que cumpla $F(0)=0$. (2 puntos)

Calcular el area encerrada entre las graficas de las funciones $f(x) = x^3 - 5x$ y $g(x) = -x$. (2 puntos)

En una residencia de ancianos el 80% de los residentes tiene cuenta de correo electronico, el 60% tiene redes sociales, y el 10% no tiene ni correo electronico ni redes sociales. Se pide calcular la probabilidad: a) De que un residente use correo electronico y redes sociales (0.5 pts). b) De que un residente use solo una de las dos cosas (0.75 pts). c) De que un residente use correo electronico sabiendo que no usa redes sociales (0.75 pts).

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora esta cansada de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los proximos 10 dias Luis llega tarde como mucho 3 dias, le subira 1 punto en la nota final de la evaluacion. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada dia es 0.5, determinar: a) El tipo de distribucion que sigue la variable aleatoria que cuenta el numero de dias que Luis llega tarde a clase en los proximos 10 dias. ¿Cuales son sus parametros? (0.5 pts) b) ¿Cual es la media y la desviacion tipica de esta distribucion? (0.75 pts) c) ¿Cual es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? (0.75 pts)