Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2021

Demostrar que la matriz $$M=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ verifica la ecuacion $M^2+\lambda_1 M+\lambda_2 I=0$ y determinar los escalares $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $\mathbb{R}$ (donde $I$ y $0$ son las matrices $2\times 2$ identidad y cero). (2 puntos)

Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcion del parametro $\lambda\in\mathbb{R}$:
$$\begin{cases}x-y=\lambda\\ x-\lambda y=\lambda\\ \lambda x-y=\lambda\end{cases}$$ (2 puntos)

Dados el plano $\Pi\equiv kx+y-z=0$ y la recta $r\equiv\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$.
a) Determinar los valores del parametro $k\in\mathbb{R}$ para que el plano $\Pi$ contenga a $r$. (1 punto)
b) Para $k=0$, calcular el angulo que forman $\Pi$ y $r$. (1 punto)

Sea el plano $\Pi\equiv x+y+z=1$. Encontrar un plano paralelo a $\Pi$ tal que el triangulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga area $2\sqrt{3}$. (2 puntos)

Estudiar asintotas, monotonia (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexion de la funcion $f(x)=e^{-x^2}$. (2 puntos)

Demostrar que las graficas de las funciones $f(x)=2-x^2$ y $g(x)=e^x$ se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen. (2 puntos)

Calcular la integral racional $\displaystyle\int\dfrac{3x}{x^2+x-2}\,dx$. (2 puntos)

Sean las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=\sqrt{x}$.
a) Representar la region plana delimitada por las graficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0,2]$. (0,5 puntos)
b) Calcular el area de la region anterior. (1,5 puntos)

Un mecanico compra ruedas a dos marcas A y B. Compra el 40% a la marca A que tiene un 3% de ruedas defectuosas. Y compra el resto a la marca B con un 1% de defectuosas. El mecanico tiene que cambiar una rueda y elige una al azar.
a) Calcular la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa. (1 punto)
b) Si la rueda es defectuosa, calcular la probabilidad de que sea de la marca A. (1 punto)

Las notas del examen de Matematicas II de la EBAU siguen una distribucion normal de media $6{,}5$ y desviacion tipica de $1{,}5$. Se elige al azar un alumno de Matematicas II de la EBAU:
a) Calcular la probabilidad de que un alumno haya aprobado ($\geq 5$). (1 punto)
b) Calcular la nota que tiene que sacar un alumno para que su nota sea superior al $97{,}50\%$ de las notas. (1 punto)